המונח "מספרים מדומים" עלול להטעות. אפשר לחשוב שמדובר ברעיון דמיוני, מין יציר פנטזיה כמו חד-קרן או דרקון, אבל אין דבר רחוק יותר מהאמת. המספרים המדומים אמיתיים כמו כל מספר אחר, והם ממלאים תפקיד מרכזי במתמטיקה, בפיזיקה, בהנדסה ובטכנולוגיות רבות המשמשות אותנו בחיי היום-יום.

אילו מספרים אתם מכירים? יש חיוביים ושליליים (ואפס שביניהם), שלמים ושברים, רציונליים (כאלו שניתן לכתוב כמנה של מספרים שלמים) ואי-רציונליים (כמו שורש שתיים או פאי). כל המספרים האלה הם מספרים ממשיים, והם מיוצגים באמצעות נקודות על ציר המספרים. אבל מהו השורש הריבועי של מספר שלילי? עבור מספר חיובי זה פשוט: לדוגמה, השורש הריבועי של 4 הוא 2, כי 4=2*2. גם  (2-) מוכפל בעצמו ייתן 4. אבל מהו השורש של (4-)? אין מספר ממשי שמספק פתרון, כי כל מספר המוכפל בעצמו, חיובי או שלילי, תמיד ייתן תוצאה חיובית. מתמטיקאים איטלקים בני המאה ה-16 שניסו למצוא נוסחה לפתרון משוואות ממעלה שלישית (משוואות מהצורה ax^3+bx^2+cx+d=0), גילו שגם אם כל פתרונות המשוואה ממשיים, הנוסחה עבור הפתרונות כוללת שורשים של מספרים שליליים [1]. "היחידה המדומה" המסומנת i (עבור imaginary) מוגדרת כשורש הריבועי של (1-). כך ניתן לכתוב את השורש של (4-) כ-2i, כי 2i*2i=-4, ובאופן דומה השורש של (9-) הוא 3i. מספרים אלו, שהם שורשים של מספרים שליליים, נקראים "מספרים מדומים".

בסדר. מה עשינו בזה? האם יש לרעיון הזה ערך מעבר לתעלול מתמטי? כמו חלק מהקוראים בשלב זה, גם המתמטיקאי בן המאה ה-17 רנה דקארט הרים גבה. הוא זה שטבע את השם "מספרים מדומים", מתוך חוסר אמון או לגלוג מסוים. המינוח מבטא את רוח התקופה – מספרים מדומים נחשבו שוליים ומפוקפקים בתחילת דרכם. אך במרוצת הדורות התברר כי רעיון זה הוא כלי מתמטי חשוב ורב-עוצמה: המספרים המדומים לא רק פתחו צוהר להבנת בעיות  שנחשבו בלתי פתירות, אלא גם הובילו לנביעה אדירה של יצירה מתמטית. תחומים שלמים במתמטיקה, כמו אנליזה מרוכבת ותורת הפונקציות, נוסדו על בסיסם, וההשלכות חדרו לכל תחומי המדע המודרני – מפיזיקה קוונטית ועד הנדסת חשמל.

אבל לפני שנרוץ קדימה, עלינו לתאר את המספרים המרוכבים. השילוב בין מספרים ממשיים (כמו 1- או שורש 2) ומספרים מדומים יוצר את המספרים המרוכבים. אלה נכתבים בצורה a+ib, כאשר a הוא החלק הממשי ו-ib הוא החלק המדומה (ib הוא פשוט מספר ממשי b כפול היחידה המדומה i). דרך נוספת להסתכל על מספרים מרוכבים היא לראותם כזוגות של מספרים ממשיים, כאשר a ו-b מרכיבים יחד את המספר המרוכב a+ib. במובן זה, המספרים המרוכבים הם פשוט הרחבה של המספרים הממשיים, המתקיימת במישור דו-ממדי (ציר אחד עבור a, ציר שני עבור b), הנקרא המישור המרוכב (ראו איור). כך, המספרים הממשיים הם בעצם תת-קבוצה מיוחדת של המספרים המרוכבים, שבה b=0 (והמספרים המדומים הם תת-הקבוצה שבה a=0).

איור 1: המישור המרוכב, שבו מיוצגים המספרים המרוכבים. כל מספר מרוכב ניתן לכתיבה כ-a+ib, כאשר a נקרא החלק הממשי ו-b נקרא החלק המדומה, ובהתאם הוא מיוצג על ידי הנקודה (a,b) במישור המרוכב. הישר b=0 הוא הציר הממשי, הכולל את כל המספרים הממשיים, והישר a=0 הוא הציר המדומה, הכולל את כל המספרים המדומים (מספרים מהצורה ib). עיצוב: נעה זילברמן

המספרים המרוכבים מאפשרים לקשר בין תחומים שונים במתמטיקה בדרכים מפתיעות. נוסחת אוילרהיא דוגמה לקשר בין המספרים המרוכבים לבין טריגונומטריה והפונקציה המעריכית e^x. אם נגדיר כי מעריך החזקה x הוא מספר מדומה iθ כאשר θ מספר ממשי כלשהו, נכנה את המספר e^(iθ) המתקבל "אקספוננט מרוכב", והוא מקיים: cos(θ)+isin(θ)=e^(iθ).
כלומר, החלק הממשי של האקספוננט המרוכב e^(iθ) הוא קוסינוס הזווית θ, והחלק המדומה הוא סינוס הזווית. מקרה פרטי מפורסם של נוסחה זו מכונה זהות אוילר: e^(iπ)+1=0. משוואה זו קושרת בין חמישה קבועים מתמטיים מרכזיים – 1, 0, e , i, π, והיא נחשבת לאחת המשוואות היפות ביותר במתמטיקה. ראו איור 2 להמחשה.

איור 2: המחשה של נוסחת אוילר cos(θ)+isin(θ)=e^(iθ). המספר המרוכב e^iθ מיוצג במישור המרוכב כנקודה על מעגל היחידה (מעגל ברדיוס 1 שמרכזו בראשית) בזווית θ מהציר האופקי. מטריגונומטריה פשוטה מקבלים שהחלק הממשי של מספר זה (ערך הציר האופקי) הוא קוסינוס הזווית θ, והחלק המדומה שלו (ערך הציר האנכי) הוא סינוס הזווית θ. כעת דמיינו את הזווית θ גדלה עד שהיא מגיעה ל-π (או 180 מעלות), ותקבלו שהנקודה e^(iθ) ממוקמת בדיוק ב(1-) שעל הציר הממשי. קיבלנו, אם כן, את זהות אוילר: e^(iπ)=-1 כמקרה פרטי של נוסחת אוילר. עיצוב: נעה זילברמן

המספרים המדומים אינם רק יפים – הם גם שימושיים. מצד אחד המבנה שלהם עשיר ומורכב יותר מזה של המספרים הממשיים, ומצד שני הם מאפשרים פתרון פשוט ואלגנטי לבעיות רבות.
על חשיבותם של המספרים המרוכבים במתמטיקה כתב המתמטיקאי והפוליטיקאי הצרפתי Paul Painleve (בשנת 1900): "הדרך הקלה והקצרה ביותר בין שתי אמיתות במרחב הממשי עוברת לעיתים קרובות דרך המישור המרוכב" [2].

אבל חשיבותם אינה מוגבלת לעולם המתמטיקה, והמספרים המרוכבים חיוניים גם בעולמות הפיזיקה וההנדסה, שהרי המתמטיקה היא שפתם. לא נתיימר להציג כאן סקירה מלאה של התכונות והשימושים של המספרים המרוכבים, ונתמקד במאפיין אחד בלבד ובהשלכותיו.

גלים (או תנודות מחזוריות) נפוצים מאוד בטבע. משוואת אוילר שתיארנו קודם קשורה קשר הדוק לתיאור של גלים, כיוון שגל טהור (שמתואר באמצעות סינוס או קוסינוס) יכול כעת להיות מבוטא כחלק הממשי או המדומה של אקספוננט מרוכב (למשל e^iωt, כאשר ω היא התדירות הזויתית ו-t הוא משתנה הזמן). כך כל בעיה הכוללת גלים יכולה להיות מתורגמת לעולם האקספוננטים המרוכבים, הפשוט בהרבה, ועל כן מספרים מרוכבים הם כלי עוצמתי לניתוח בעיות שעוסקות בגלים מכל סוג. אם כן, הטבע מדבר בשפת המספרים המרוכבים: תנודות של גלים – בין אם אלו גלים באוקיינוס, גלי קול או גלי אור – ניתנות לתיאור באמצעותם.

דוגמאות בולטות ניתן למצוא בתחום האלקטרוניקה ועיבוד האותות, שבו המספרים המדומים הם כלי חיוני לניתוח ותכנון מערכות מתקדמות. במעגלי זרם חילופין (AC), המשמשים להעברת חשמל ולתפעול מכשירים, המתח והזרם, המקיימים את המשוואה שלומדים בתיכון V=I*R, הם עתה גלים סינוסיים המיוצגים בעזרת מספרים מרוכבים. בנוסף, בעיבוד אותות כמו גלי קול, אור ורדיו, המספרים המרוכבים מסייעים בניתוח תדרים, שיפור איכות שידור והעברת מידע מדויקת – טכנולוגיות קריטיות לשימושים יום-יומיים כגון שיחות טלפון, GPS וסטרימינג של מוזיקה.

בענפי הנדסה אחרים יש למספרים המרוכבים תפקיד חשוב – למשל בתכנון של מבנים גדולים כגורדי שחקים, גשרים ומטוסים. הם משמשים לביצוע חישובים דינמיים הקשורים לתנודות, לחצים וכוחות, ובכך מאפשרים לוודא שהמבנים יעמדו בפני תנאים משתנים, לדוגמה ברוחות חזקות, או בעומסים כבדים.

גם בעולם התת-אטומי אנו פוגשים התנהגות גלית. במכניקת הקוונטים, מצבו של חלקיק מתואר באמצעות פונקציית גל. המשוואה המתארת את ההתפתחות בזמן של פונקציות גל אלו נקראת משוואת שרדינגר, וניחשתם נכון – גם כאן מופיעים המספרים המדומים. משוואת שרדינגר חוזה את התנהגותם של חלקיקים תת-אטומיים, לדוגמה תנועת אלקטרונים סביב גרעין האטום, ולכן יש לה חשיבות רבה בכימיה והיא חיונית להבנת מבנה החומר שסביבנו.

למיטיבי לכת נזכיר את השימוש במספרים מרוכבים לתיאור של גלים בתחום החיוני של התמרות פוריה – פירוק של פונקציות לרכיבים מחזוריים [3]. להתמרות פוריה יש תפקיד במגוון טכנולוגיות, מעיבוד MRI ואולטרה-סאונד ועד שמירת מוזיקה בפורמט דיגיטלי [4]. ואם נשים את כל עניין הגלים בצד, קיימת גם קשת רחבה ונפרדת של שימושים במספרים מרוכבים, המבוססת על הרחבה של פונקציות למישור המרוכב. אבל זה, ובכן, כבר קצת מורכב...

אז בפעם הבאה שתדליקו אור, תשוחחו בטלפון או תסעו על גשר, זכרו את המספרים המדומים. אומנם הם אינם נראים לעין (כמו כל מספר אחר), אבל השפעתם מהותית: מרעיון מופשט שהגיח מהצללים של המתמטיקה, הם הפכו לכלי עוצמתי המניע את חיינו.

עריכה: סמדר רבן

מקורות והרחבות

[1] פוסט בבלוג "לא מדויק" על האופן שבו המספרים המרוכבים מופיעים בפתרון משוואות ממעלה שלישית

[2] Paul Painleve, Analyse des travaux scientifiques (1900).

[3] מבוא עיוני להתמרת פורייה, מתוך הבלוג "רשימות בפיזיקה עיונית"

[4] פוסט על שמירת מוזיקה בפורמט דיגיטלי, מתוך סדרה על אפליקציית שאזאם, ב"מדע גדול, בקטנה"