סימטריה וגדלים נשמרים
15/12/2018
החוקים הבסיסיים ביותר של הפיזיקה הקלאסית, כפי שנכתבו על ידי ניוטון [1][2], ניתנים לניסוח באופן הבא:
1. גוף בתנועה ימשיך לנוע באותו כיוון ובאותה מהירות, כל עוד לא הופעל עליו כוח (חוק ה"הֶתְמֵד" - אינרציה).
2. תאוצת הגוף כפול המסה שווה לכוח המופעל עליו.
3. לכל כוח, קיים כוח נגדי, הזהה לו בגודלו והפוך בכיוונו.
במקור, חוקים אלו היו אקסיומות שנגזרו מניסויים. בפרט, הם לא כללו הסבר מעמיק יותר. אנו נתמקד בחוק הראשון, וננסה להבין באופן עמוק יותר את מקורו ואת הסיבות לכך שהוא מתקיים באופן שבו הוא מתקיים בעולם שלנו. בפרט, נראה שהתמד הוא תוצר ישיר של הסימטריות שיש ליקום שלנו. כדי לעשות זאת, תחילה עלינו להבין את הקשר העמוק בין גדלים פיזיקליים נשמרים לסימטריות.
מהם בעצם גדלים פיזיקליים נשמרים?
גודל נשמר, כשמו כן הוא, גודל שנשאר קבוע בזמן. למשל, המסה. אם ניקח גוש חומר בריק, ונוודא שדבר לא נוגע בו, המסה שלו תשאר קבועה - הוא לא יאבד חומר, ולא יווצר חומר חדש. דוגמה נוספת היא התֶּנַע (או המהירות) של חלקיק הנע בריק. אם נוכל למדוד את מהירותו של גוף הנע בריק מבלי להשפיע על מהירותו, נראה כי מהירותו לא משתנה לאורך זמן. כלומר, לא משנה כמה זמן יעבור, מהירות הגוף תישאר באותו ערך.
בשלב הבא נסביר בקצרה מהי סימטריה (מצורף כאן [3] קישור לדף שמסביר זאת באופן פשוט). סימטריה היא פעולה שניתן לבצע על מערכת, כך שלא ניתן להבדיל בין המערכת לפני ואחרי הפעולה. למשל, אם נבחן כדור מושלם, נוכל לסובב אותו כרצוננו, כך שצופה חיצוני לא יוכל לדעת האם סובבנו את הכדור או לא. דוגמה נוספת היא קובייה. ניתן לסובב קובייה ב-90 מעלות בכיוון הניצב לכל אחת מהצלעות, כך שהקובייה המסובבת והמקורית יהיו זהות.
על פניו, נראה שאין הבדל מהותי בין שתי הדוגמאות שהבאנו: בשני המקרים מדובר בצורות גאומטריות פשוטות עם סימטריה. אולם, בכל זאת ישנו הבדל אחד מהותי בין הסימטריות לסיבובים של כדור ושל הקובייה: בעוד את הכדור ניתן לסובב בכל זווית, הסימטריה של הקובייה תקפה רק עבור סיבובים ב-90 מעלות. סימטריה כזו נקראת דיסקרטית. בניגוד לקובייה, ניתן לסובב את הכדור כרצוננו בכל זווית שנבחר. הסימטריה של הכדור שייכת לקבוצת הסימטריות הרציפות. אנו נתייחס כאן לסוג השני של סימטריות, כלומר סימטריות רציפות.
אז מהו הקשר בין סימטריה לבין גדלים נשמרים, ואיך כל זה קשור להתמד?
הקשר החשוב בין סימטריה לבין גדלים נשמרים הובן לראשונה על ידי המתמטיקאית פורצת הדרך אמי נתר, ותומצת במשפט נתר (1915, פורסם 3 שנים מאוחר יותר), אחד המשפטים החשובים ביותר בפיזיקה. למשפט זה ישנם ניסוחים שונים. בפשטות, אפשר לכתוב אותו באופן הבא:
"לכל מערכת בעלת סימטריה רציפה (תחת הנחות מסוימות) ישנו גודל נשמר הקשור לסימטריה זו". המשפט טוען שאם למערכת יש סימטריה, אזי למערכת יש גם גודל נשמר.
למשפט זה יש הוכחות מתמטיות מסודרות רבות [4]. אנו לא נכלול אותן כאן. במקום זאת, נכלול הסבר פשוט. נחזור לרגע לדוגמת הכדור הסימטרי. כפי שהסברנו, ניתן לסובב את הכדור כרצוננו, אך דבר לא ישתנה. אולם, אמי נתר הבינה משהו עמוק יותר: אם הכדור עגול ומושלם, אין שום דרך להבדיל בין כדור מסתובב לכדור במנוחה, כל עוד אנו לא נוגעים בו!
המשפט האחרון נשמע מעט מופרך ברגע הראשון, אולם, אם נחשוב על כך, כל עוד פני הכדור אחידים לחלוטין, אנו לא יכולים לדעת האם הכדור במנוחה או מסתובב. הוא יראה בדיוק אותו הדבר בשני מצבים אלו. לפיכך, בדיוק כמו שכדור במנוחה נשאר במנוחה , אם נשים את הכדור במצב של תנועה, הוא יישאר במצב של תנועה, כל עוד לא יהיה כוח חיצוני שיפריע לו – אין הבדל בין המצבים. תכונה זו היא יסודית מאוד, ומתבטאת בקשרים בין סימטריות רציפות רבות אחרות לבין גדלים נשמרים.
ניתן להסביר תוצאה זו באופן הבא: נבחן את הכדור כשהוא בתנועה. במצב זה, הוא בעצם משתנה במהירות בין כדור בזווית x, לזווית x+dx, x+2*dx וכך הלאה. אבל, אין שום הבדל בין כל אחד מהמצבים. כלומר, הכדור עובר במהירות בין מצבים זהים. מאחר וכך, כדור בתנועה יישאר במצב זה, כל עוד לא יהיה מעורב כוח חיצוני שיפריע לו לעשות זאת.
ניגש כעת להבנת הסיבה לקיומו של ההתמד. לשם כך, נתמקד לרגע בסימטריה להזזות במרחב. נדמיין כי אנחנו נמצאים בחדר גדול מאוד, וריק לחלוטין. נדמיין כי החדר כל כך גדול, שאנו יכולים לצעוד בו במשך ימים מבלי להגיע לקצהו. נדמיין עוד כי לא ניתן לראות את קירות החדר. נניח כי אנחנו נמצאים בנקודה כלשהי בחדר ומסתכלים סביבנו. נלך כעת במשך עשר דקות לכיוון כלשהו. נעצור ונבחן שוב את הסביבה שלנו. אין לנו שום דרך להבדיל בין שתי הנקודות! אם נסתכל מסביבנו, נראה בדיוק אותו דבר. הדבר נכון לכל שתי נקודות בחדר: אין שום דרך להבחין בין כל 2 נקודות בחדר, כל עוד אלו רחוקות מספיק מהקירות. לסימטריה כזו קוראים סימטריה להזזות. בפשטות, במערכת בעלת סימטריה להזזות, ניתן להזיז כל אובייקט כרצוננו מבלי שדבר ישתנה. נניח כעת כי אנו מרחפים בחדר (כלומר, אין לנו שום מגע עם הרצפה). כעת, בדיוק כמו בדוגמה של הכדור, אין שום דרך להבדיל בין תנועה לבין מנוחה. שני המקרים האלו זהים לחלוטין. לפיכך, בדיוק כמו שגוף במנוחה בחדר ישאר במנוחה, גוף בתנועה יישאר בתנועה.
מצב דומה קיים ביקום שלנו. כל עוד אנו בריק "קלאסי" (ללא חלקיקים או תנודות) גוף בתנועה יישאר בתנועה. הדרך היחידה לגרום לגוף להאט היא מגע עם גופים או כוחות חיצוניים. וזה בדיוק התמד. לכן, ביקום שלנו, ההתמד הוא תוצר ישיר של הסימטריה להזזות. אלמלא היה היקום שלנו סימטרי, גוף בתנועה לא היה שומר על מהירותו.
הקשר בין סימטריה לגדלים נשמרים לא מוגבל רק להזזות. למשל, כמו שראינו, במערכות עם סימטריה לסיבובים, תשמר תנועה במעגלים. יתרה מכך, ניתן להראות כי כמעט כל הגדלים הנשמרים בטבע, הן תוצר של סימטריה.
כתרגילים מחשבתיים לסיום, אני מזמין את הקוראים לנסות ולהבין מהם הגדלים הנשמרים במקרים של סימטריות דיסקרטיות. למשל:
מהו הגודל שישמר במקרה של קובייה בעלת סימטריה לסיבובים של 90 מעלות.
מהו הגודל שישמר במערכת שבה ניתן לזוז רק בצעדים בגודל קבוע. לצורך העניין, צעד באורך a.
בנוסף, מהי הסימטריה העומדת מאחורי העובדה שכוכבי מערכת השמש מסתובבים סביבה למשך זמן כה ארוך, מבלי לשנות את מסלולם?
דוקטור לפיזיקה, בוגר הטכניון בחיפה. התמחה בפיזיקה של חלקיקים יסודיים, פיזיקה של מצב מוצק ואופטיקה. כיום, עוסק בעיבוד תמונה, עיבוד אותות ובלמידת מכונה. לשעבר המנהל המקצועי של עמותת "מדע גדול, בקטנה".
