דמו את עצמכם נוסעים בג'יפ במדבר, ונותר לכם דלק לקילומטר אחד. באילו מקומות תוכלו לבקר? התשובה הסטנדרטית: המקסימום שתוכלו להגיע הוא למקומות שעל שפת מעגל שרדיוסו קילומטר, והיקפו שני פאי קילומטרים.
כעת, נניח שאתם נוסעים בכרך, למשל במנהטן. האם התשובה תשתנה? ברור שכן: התנועה שלכם בעיר מוגבלת עקב רשת הרחובות, ולכן לא תוכלו לנסוע באלכסון. נניח שרחובות העיר נפרשים כרשת ריבועית, הבנוייה שתי וערב, וכל מאה מטרים יש צומת. תוכלו למשל לנסוע בשארית הדלק 400 מטר צפונה, ועוד 600 מטר מזרחה, או 300 מטר מזרחה ו-700 מטר צפונה, וכולי. בכל מקרה תעברו 10 צמתים בדרככם.
נגדיר את המרחק בנסיעה בעיר כזאת כמרחק המינימלי שצריך לנסוע כדי להגיע מצומת המוצא לצומת היעד. מרחק זה קרוי נורמת L1. באמצעות הגדרה זו [1],  נבנתה גיאומטריה מיוחדת, שזכתה לכינוי "גאומטריית מנהטן", על שם הרובע המפורסם בניו-יורק עם הרחובות המסודרים. אולם, כיוון שהסיכוי לנסוע בג'יפ ברחובות מנהטן הוא נמוך, ובדרך כלל לוקחים מוניות, השם היותר מתאים הוא "גאומטריית נהגי המוניות".[2].
נחזור לשאלה: לכמה צמתים במרחק קילומטר נוכל להגיע?  בגיאומטריית "נהגי המוניות" הרדיוס הוא מספר הצמתים שנוכל לעבור (10 בדוגמה שלנו), וההיקף הוא מספר הצמתים השונים השונים הנמצאים במרחק של "רדיוס" מאיתנו. אם תציירו את רשת הרחובות  (ראו תרשים) תוכלו לראות שניתן להגיע ל-40 צמתים ברדיוס 10.

בניגוד לגאומטריה הרגילה שבה יש רק מסלול אחד שהוא הקצר ביותר בין שתי נקודות,  (הקו הישר), בגיאומטריית נהגי המוניות יכולים להיות מספר מסלולים כאלה. תכונה זו, פותחת פתח ליצירתיות ולתושיה של נהגי המוניות, והמונה מתקתק...

גיאומטריית "נהגי המוניות" היא אחת מהגאומטריות הלא-אוקלידיות [3], שפותחו ברובן במאה התשע-עשרה, והיא כנראה הפשוטה מכולן. יש לה שימושים רבים בהנדסה, כולל הרחבות שונות. נראה דוגמה:  נניח שהמאיץ הגרפי שבמחשב צריך למצוא את כל הפיקסלים שנמצאים בתוך משולש נתון. לשם כך, יש צורך למצוא את משוואות הישרים של שלושת הצלעות ולפתור מערכת של שלושה אי-שוויונות. למשל, אם הצלע הימנית נמצאת על הישר המקיים את המשוואה 2x-3y=2, אז הפיקסלים שבתוך המשולש, הנמצאים לשמאלה, מקיימים את אי-השוויון 2x-3y<2. בדיקות כאילו עבור כל פיקסל שעל המסך הן  איטיות ויקרות, כי מצריכות שתי פעולות כפל עבור כל בדיקת צלע כיצד ניתן לחסוך?

מסתבר שאם נתונה לנו נקודה התחלתית בתוך המשולש, נוכל לעשות זאת בפשטות  על ידי הליכה כמו ב"גאומטריית המוניות". למשל, עבור הצלע הימנית בדוגמה נחשב פעם אחת את האגף השמאלי (2x-3y ) ואז כל פעם שנזוז בפיקסל אחד ימינה פשוט נוסיף לו עוד 2. ברגע שנתקע בצלע המשולש ולא נוכל להמשיך עוד (כלומר אי-השוויון לא יתקיים), ננסה למשל לעלות למעלה שורת פיקסלים אחת, על ידי הורדת  3, וכולי. על ידי צעידה בקו ישר, ימינה, שמאלה למעלה ולמטה, נוכל להגיע בקלות לכל הפיקסלים במשולש, ללא הכפלות ועם מעט חישובים.

כיוון שחישוב מרחקים באמצעות גיאומטריית מנהטן פשוט יותר מאשר בצורה הרגילה, נעשה בו שימוש נרחב גם בלמידת-מכונה, בה יש צורך לחשב לעיתים קרובות "מרחק" בין קבוצות נתונים.

אכן, למרות פשטותה יש גם מתמטיקה מעניינת ושימוש נרחב בגיאומטריית "נהגי המוניות". נקודה למחשבה כאשר אתם מחפשים מונית.

לקריאה נוספת:
נורמת L1

גיאומטריית נהגי מוניות
גיאומטריה לא אאוקלידית