לעתים אנו מקבלים באימייל הצעות מפתות להרוויח כסף, שנראה כאילו אי אפשר להפסיד בהן. האומנם?

מה המשותף בלשיטת "שיווק פירמידה" ולסכנת התפוצצות האוכלוסין? מסתבר שלא מעט. ניתן לתאר את שני המקרים בעזרת מודלים מתמטיים דומים. בשני המקרים, גודלה של השכבה הבאה תלוי בשכבה הנוכחית. לפיכך, אלו מודלים מתמטיים המכונים "אקספוננציאלים". שני המקרים קשורים למושג חשוב באקולוגיה הקרוי "כושר נשיאה".

אתמול הייתה לי השראה מהיקום וכתבתי ברכה לאנושות. אני חפץ לשתף אותה ברבים, ובאותה הזדמנות להרוויח קצת כסף. מה כדאי לי לעשות?
הרעיון: אפנה ל-6 מכרים ואעניק להם את הברכה תמורת 10$ לאדם. בנוסף, אני אתיר לכל אחד מהם להפיץ את הברכה ל-6 מכרים תמורת 10$ לאדם. גם המכרים הללו יוכלו להמשיך ולהפיץ את הברכה בצורה דומה. בשיטה זו כל אחד מהמשתתפים אמור להרוויח 50$   =  10$ - 6 *10$ וגם לקבל ברכה! אך האם זה יעבוד?
תשובת אנשי שיווק: זה יכול לעבוד בהתחלה, עד שהשוק יגיע לרוויה.  
למה הכוונה ברוויה? נסביר באמצעות חישוב פשוט.
בתנאים אידאליים (כשכל המועמדים מתלהבים ומשתפים פעולה), הגידול במספר המצטרפים החדשים יהיה אקספוננציאלי - מספר המשתתפים בסיבוב הבא יגדל באופן פרופורציוני למספר המצטרפים בסיבוב הנוכחי. נניח שבכל יום, כל משתתף טרי יצליח לצרף עוד 6 משתתפים חדשים. ביום הראשון יהיו 6 משתתפים, ביום השני יתווספו 6*6 ויהיו בסך הכל 6+6*6 משתתפים. ביום החמישי כבר יתווספו  5^6=7,776 משתתפים, ויהיו בסך הכל 9,330 משתתפים. אחרי שמונה ימים מספר המשתתפים כבר יעלה ללמעלה מ-2 מיליון. מובן שכמות זו היא לא הגיונית, והגידול ייעצר הרבה לפני. אולם מה יקרה בזמן העצירה?  
נניח למען הפשטות שהגידול ייעצר בבת אחת אחרי N שלבים בשל מחסור במועמדים. במצב זה יהיו 6^N מצטרפים חדשים ששילמו אבל לא הצליחו למכור, ובסך הכל 6^Nו +...4^6 + 3^6 + 2^6 + 6 משתתפים. לפיכך, אחוז המשתתפים שלא הצליחו למכור את הברכה והפסידו כסף יהיה:

Percent-losing-money = 5/6 * 6^N/(6^N-1)     

אפשר לראות שעבור N גדול, כ-5/6 (83%) מהאנשים שהצטרפו יפסידו כסף! אכן, המצטרפים שיגיעו בשלב מאוחר יגלו שכל המועמדים הפוטנציאליים כבר קיבלו פנייה להצטרף. כלומר השוק נעשה רווי וכספם ירד לטמיון.
דוגמה פשוטה זו מדגימה את שיטת השיווק הקרויה "שיווק פירמידה" [1]. שיטת שיווק זו גרמה להרבה אנשים תמימים להפסיד את כספם, לכן היא נחשבת לפעולת רמייה ואסורה כיום על פי החוק בארצות הברית.  
כיצד שיווק הפירמידה ייעצר? במצב קיצוני החברה המשווקת פשוט תקרוס (זה קרה למשל עם החברה של ברנרד מיידוף, שקרסה כשבעליה נשלחו לכלא). אולם ייתכן גם מצב שבו הפירמידה תמשיך להתנהל לאטה גם בתנאים של שוק רווי עד שתיעצר לגמרי.  
נניח בדוגמה שלנו שיש 260,000 לקוחות פוטנציאליים (זה מה שהצבנו באקסל...). נסמן את מספר הלקוחות ביום ה-n  ב - (A (n. הגידול ביום הבא תלוי במספר המצטרפים הטריים ((A(n)-A(n-1) מוכפל ב-6 ומוכפל בהסתברות שהמצטרפים הטריים ימצאו מועמדים חדשים בשוק (היחס בין מספר האנשים הזמין לסך האנשים).                   

A(n+1) =A(n)+6*( A(n)-A(n-1) )*( 260,000-A(n)/260,000)

קיבלנו משוואת הפרשים לא-לינארית. החישוב מראה שאחרי 7 ימים נגיע לרוויה, בעוד בגידול מעריכי ללא הגבלה יהיו ביום זה יותר מ-335 אלף משתתפים.
חישוב זה דומה לחישובים שנעשים בתורת האקולוגיה, כאשר דנים במושג "כושר נשיאה"  [2]  (carrying capacity), שהוא המדד המציין את גודל האוכלוסייה היכולה להתקיים לאורך זמן בסביבה בעלת משאבים מוגבלים. המשוואה שפותחה בתורת האקולוגיה [3] "Logistic- Equation" היא קצת שונה, אבל המטרה היא דומה - להעריך את הזמן עד שגודל האוכלוסייה יגיע לרוויה.
צורת העקומה המתקבלת בתלות בזמן היא מעניינת: היא מתחילה כגידול אקספוננציאלי, אולם בשלב מסוים היא מתפתלת וזוחלת לכיוון האסימפטוטה האופקית (carrying capacity).
ראינו בדוגמה זו את שיטת "שיווק הפירמידה" ואת האנלוגיה לתורת האקולוגיה. כדאי להישמר משיטת השיווק הזו, וכן גם מסכנת התפוצצות האוכלוסין.