לעתים אנחנו נדרשים לחשב מהו המסלול המהיר ביותר בין שתי נקודות, למשל בניווט. אפשר להסביר את חוק סנל, המתאר את שבירת קרן האור במעבר בין תווך אחד למשנהו, בעזרת הרעיון שהאור נע במסלול המהיר ביותר בין נקודת המוצא לנקודת הסיום. למכניקה הקוונטית בניסוחו של פיינמן יש משהו מאוד מעניין לספר לנו על כך.

דמיינו לכן את הסיטואציה הבאה: מציל עומד על החוף ומבחין באדם הטובע בים (ראו איור 1). המציל מעוניין להגיע אל הטובע בזמן הקצר ביותר. מה עליו לעשות? מהירות הריצה של המציל על החוף גבוהה בהרבה מאשר מהירות השחייה שלו. לפיכך, לא הגיוני שהמציל יבחר לנוע בקו הישר המחבר בינו לבין הטובע, שכן אז הוא ישהה במים זמן רב מדי ויבזבז זמן יקר בשחייה בהתקדמות אטית. מהו אם כן המסלול בעל זמן ההגעה הקצר ביותר?

איור 1: תיאור בעיית המציל

בעיה זאת, הנקראת ״בעיית המציל והטובע״, ניתנת לפתרון מדויק בעזרת חשבון דפרנציאלי. על המציל לרוץ בקו ישר אל עבר נקודה מסוימת בקו המים, ואז "לשבור" ולשחות בקו ישר אל עבר הטובע. באיזו נקודה על המציל לשבור? החישוב מראה שבהינתן מהירות הריצה ומהירות השחייה של המציל, הרי שהפתרון, באופן מפתיע, זהה ל״חוק סנל״, המוכר לחלקנו מלימודי האופטיקה, שאתאר בהמשך. הפתרון מתואר גם באיור 2 להלן ואני משאיר לקורא הסקרן להוכיח זאת.

איור 2: הפתרון לבעיית המציל. המציל רץ על החוף במהירות v1 ושוחה במים במהירות v2

אז מה בדיוק הקשר לחוק סנל? ובכן, האור עושה בדיוק את אותו הדבר כמו המציל! מהירות האור בתווכים שונים תלויה בסוג התווך. בעוד שמהירות האור בריק היא כ- 300,000 ק״מ בשנייה, הרי שמהירות האור בזכוכית קטנה פי 1.5 (הסבר מפורט לסיבה שהאור מתקדם לאט יותר בתווך צפוף נתון כאן [4]). כאשר האור עובר מהאוויר אל הזכוכית הוא נשבר, כלומר משנה את כיוונו, על פי חוק סנל. האור מגיע מנקודת ההתחלה של המסלול לנקודת הסיום של המסלול בזמן מינימלי, בדיוק כפי שעושה המציל כאשר הוא רץ ושוחה על מנת להציל את הטובע. בעבר פרסמנו כמה פוסטים על חוק סנל [1,2,3].

לכאורה נראה שהאור "יודע" לחשב את המסלול המהיר ביותר. מובן שהדבר אינו נכון, שכן האור אינו יודע דבר. האור נע על פי חוקי הפיזיקה, והשאלה כיצד חוקי הפיזיקה הסבוכים, הנשגבים אף מבינתנו, ידועים לחלקיקי האור, היא שאלה בפילוסופיה ולא אדון בה.

הסיפור נעשה עוד יותר מעניין כאשר דנים בו במסגרת תורת הקוונטים, בניסוחה על פי ריצ׳רד פיינמן. לדידו  של פיינמן, חלקיקים, ובפרט חלקיקי האור הנקראים פוטונים, אינם נעים במסלול אחד מוגדר, אלא בכל המסלולים האפשריים בו זמנית, (ראו איור 3). כלומר, בהינתן נקודת התחלה ונקודת סיום, האור איננו נע בדיוק במסלול בעל הזמן המינימלי הנתון בידי חוק סנל, אלא באינסוף מסלולים שונים. לכל מסלול יש הסתברות (או ליתר דיוק ״אמפליטודה״) משלו, ולכן עלינו לעשות ממוצע משוקלל של כל המסלולים. ההסתברות לכל מסלול קשורה בזמן התנועה בין נקודת התחלה לסיום. ככל שהמסלול אטי יותר הוא סביר פחות.

המסלול הקלאסי (כלומר, זה שאינו קוונטי), זה שנקבע על פי חוק סנל, הוא המסלול בעל הסבירות הגבוהה ביותר, שכן הוא המהיר ביותר. חריגה מהמסלול הקלאסי דועכת אקספוננציאלית עם הזמן הקשור במסלול. כלומר על פי מכניקת הקוונטים, חוק סנל הוא קירוב טוב למסלול האור הנע מתווך אחד לאחר, אך לא התיאור המדויק.

ולסיום נחזור אל בעיית המציל והטובע: אילו היו על החוף אינסוף מצילים, וכל אחד מהם היה בוחר במסלול שונה במקצת בין נקודת ההתחלה לסיום, היינו יכולים לחזות במו עינינו בהתנהגות הדומה לדינמיקה במכניקה הקוונטית. אלא שהטבע מעניין עוד יותר מזה: על פי הפרשנות הרווחת לתורת הקוונטים, מציל אחד בודד נע אל עבר הטובע באינסוף מסלולים בו זמנית.

איור 3

עדי ארמוני הוא פרופסור לפיזיקה תאורטית של חלקיקים אלמנטריים באוניברסיטת סוונסי

איורים: נעה זילברמן

עריכה: ינון קחטן

הערות והרחבות: 

[1] שבירה על קצה המזלג

[2] מיקוד עוצמתי

[3] עקרון פרמה

[4] גלים היברידיים