על חלחול, ממודל הדיפוזיה של בס
23/09/2020
פרקולציה, או בעברית חלחול, היא תופעה שבה חלקיקים הנמצאים באיזור מצומצם, מתפזרים במרחב בתווך מסויים. לדוגמה, מים שמחלחלים בתוך חול, נפט שמחלחל בתוך סלע, נגיף שנע באוכלוסיה, או אפילו משהו מופשט כמו הפצת רעיונות בין אנשים. תחום מחקר המתאר תופעה זו בצורה מתמטית הוא לכן בעל שימושים רבים. למשל בתחום השיווק, שם אנו רוצים להפיץ מידע על מוצר מפה לאוזן, הפצת סרטונים ויראלים, או במחקר על הפצת מחלות. התנהגות המערכת משתנה באם מדובר בתווך רציף, כמו חול או מים, או בתווך לא רציף, למשל, מעבר שמועות בין אדם לאדם. בעוד שבתווך רציף החלחול מתואר על ידי משוואות שנובעות מפיזיקה של זורמים, בתווך לא רציף אנו קופצים מצומת אחד לשני כמו נסיעה בכביש בו לא ניתן להסתובב באמצע, אלא רק בצמתים המחוברים זה לזה. כאשר התווך אינו רציף ניתן, בהנחות מסוימות, לתאר את החלחול בעזרת מודל בשם "מודל החלחול של בס".
בזמן שהעולם מחכה למוצא פיהם של ביולוגים ורופאים בנוגע לחיסון נגד נגיף הקורונה, יש מדענים שבוחנים דווקא את השלב שלאחר מציאת החיסון: מה תהיה האסטרטגייה הטובה ביותר לשימוש בחיסון. כלומר, את מי כדאי יהיה לחסן קודם. לדוגמה, במצב בו יש לנו חיסון מסוג אחד בלבד, נכון יותר לתת אותו לאיש מכירות שנמצא במגע עם אנשים רבים, מאשר לאדם שהחשיפה שלו לאנשים אחרים מוגבלת. השאלה היא כיצד נחליט איך לחלק את החיסון בצורה הטובה ביותר?
כלי המסייע בפתרון בעיה זו הוא "מודל החלחול של בס" [1]. פרנק בס האמריקאי חיפש לפתור בצורה מתמטית בעיה מעולם השיווק: כיצד יתפשטו טכנולוגיה או מוצר חדשים בקרב אוכלוסיית הצרכנים. המודל שלו מניח כי הידיעה על קיום המוצר מתפשטת באמצעות אינטראקציות בין אנשים, כאשר ברור כי כל אדם נמצא בקשר רק עם חלק מהאוכלוסייה, ומייצר משוואה המתארת כיצד פיזור המידע באוכלוסיה ישתנה עם הזמן. המשוואה מכילה פרמטרים רבים נוספים השולטים באופן ההתפשטות. למשל, כמות המוצר שיש לייצר בכל שלב, או מיהם האנשים שדרכם ניתן לגרום למוצר להתפשט מהר יותר, כמו דמות משפיעה שממליצה על המוצר. כך בעצם ניתן לבנות מודל של המציאות ולבחון התנהגות עתידית בהתאם לפרמטרים שונים שמוכנסים למודל, וכך למעשה לבצע תחזית לפי המצב הקיים כיום.
את המודל ניתן ליישם על מגוון דברים ש״עוברים״ בין אנשים, בין אם מדובר בהמלצה על מוצר או במחלה מדבקת. כך, למשל, ניתן להעריך את מספר החולים הצפוי כאשר קיימת מחלה מדבקת, על פי כמות וסוגי האינטראקציות בין אנשים, או עם בידוד או בלעדיו (שכן בידוד קוטע חלק מהאינטרקציות). המודל אף יכול לחזות מי הם האנשים שמפיצים הכי ביעילות. אם נחזור לשאלה את מי לחסן קודם, הרי שהתשובה ככל הנראה תהיה שעלינו לחסן את אותם מפיצי העל (אותם הזכרנו בכתבה קודמת [2]).
המודל של בס מבוסס על רעיון של צמתים, זאת אומרת נקודה המקושרת לנקודות אחרות [3]. אם נמשיך את הדוגמה של הפצת מוצרים בקרב אוכלוסיה המורכבת מאנשים בודדים, כל אדם הוא צומת והוא קשור לאנשים נוספים כמו משפחה וחברים שכל אחד מהם הוא צומת חדשה. עתה נוסיף לכל צומת כמה פרמטרים פשוטים שיגדירו את הבעיה. נניח לדוגמה כי אנו רוצים לדעת כמה צופים יהיו לסרטון על חתולים והאם הוא יהפוך לויראלי. במקרה זה נגדיר בצורה מספרית מה הסיכוי של כל צומת (אדם) במודל לצפות בסרט באופן ספונטני בחיפוש עצמאי באינטרנט, ומה הסיכוי שאם הוא צפה בו, הוא ימליץ עליו למישהו אחר. בנוסף, נגדיר את הסיכוי של מישהו שקיבל המלצה על הסרט להמליץ הלאה. במקרה כזה לוקחים בחשבון שייתכן וההמלצה תתבצע גם אם הממליץ עצמו לא צפה בסרטון אלא רק העביר הלאה. כמו כן, יש להגדיר מה מספר האינטראקציות של כל צומת, כלומר עם כמה צמתים נוספים הצומת מקיים קשרים (כמו עוקבים או חברים ומכרים). כמו כן ניתן להגדיר צמתים אשר "מחוסנים" לצפייה בסרטים כך שגם אם קבלו את הסרט הם לא יצפו בו ולא יעבירו אותו הלאה (מי מאיתנו לא נמצא בקבוצת ווטסאפ על השתק...).
למודל זה ישנם שימושים נוספים, לדוגמה, בתעשיית קידוחי הנפט [4]. נהוג לבצע קידוח לצורך סקירה טרומית של השטח. כאשר מנסים לאתר במרבץ נפט תת קרקעי, אין מדובר בבריכה של נפט אלא בקרקע ספוגה בנפט. לעיתים מדובר בסלע נקבובי דרכו הנפט עובר. על מנת להעריך את כמות הנפט במרבץ כולו, אפשר להפעיל את המודל של בס, ובו כל נקבובית מהווה צומת. יחד עם הערכה של תכונות ההולכה בין נקבוביות וכמות הנפט בכל צומת, ניתן לקחת דגימת קרקע ולהעריך את "גודל האוכלוסיה הנגועה", קרי את כמות הנקבוביות בהן יש נפט והאם יהיה משתלם לקדוח בקרקע.
דוגמא נוספת קשורה לקורונה. חוקר מן העיר גורגאון שבהודו ערך מחקר כדי לחזות כמה אנשים יידבקו בנגיף, בעזרת שלושה פרמטרים אותם אנו לא יודעים: כמות האנשים שנדבקו ביום הראשון ממנו מתחילים את החישוב, מספר האנשים שנדבקים בשל אי הבנת המצב ומספר האנשים שנדבקים מכיווון שלא צייתו לחוקים של ריחוק חברתי [5]. המודל מעריך כמה מתים יהיו בכל יום תוך שימוש בנתונים שנאספו עד כה. כוחו של מודל זה הוא בין היתר במדידת מספר החולים החדשים בכל יום וחישוב מספר החולים טרם החלת חוקי הריחוק החברתי, כמו גם כמה אנשים לא מבינים או לא מצייתים לחוקים.
קל לראות את הקשר של המודל לעולם המגפות והחיסונים. אם נרצה למשוך את קצב ההדבקה, כלומר אותה כמות אוכלוסיה תידבק אבל לאורך יותר זמן ("לשטח את העקומה"), הדרך היא בשינוי הפרמטרים של כל צומת (אדם) במשוואה (ראשית במודל ולאחר מכן ניישם במציאות, לדוגמא צמצום קשרים בין אנשים), למשל על ידי מתן חיסון או צמצום האינטראקציות של כל צומת עם שכניו. שינוי קצב ההפצה של מחלה אומנם לא ישנה את סך הנדבקים, אבל יכול לגרום לכך שלנדבקים המאוחרים יותר, כבר יהיה חיסון במלאי או לכל הפחות מקום בבי"ח. מציאת הפרמטרים שקושרים בין הפצת מחלה להתנהגות אנושית אינו פשוט כלל ונחקר זה זמן רב [6]. מודלים מתמטיים מראים באופן מעניין את הקשר בין תופעות שנראות שונות לחלוטין. לעיתים, גם אם אין קשר בין התהליכים, הם עשויים להתנהג באופן דומה במקרים מסוימים. האוניברסליות הזו צצה לפעמים במקומות מפתיעים כמו הקשר בין חלחול נפט לפרסומות.
מקורות
[2] מפיצי העל
[4] שימוש במודל בתעשיית קידוחי הנפט לדוגמא
[6] מציאת הקשרים בין התנהגות אינדיבידואלים להפצת מחלות
פיזיקאי עם התמחות בפיסיקה גרעינית מהאוניברסיטה העברית, מחקרו הנוכחי עוסק בשאלת גודל הפרוטון תוך שימוש במאיצי חלקיקים. בעל ניסיון רב בפיתוח סימולציות ומודלים להתקדמות חלקיקים מיוננים במרחב. דן היה חלק מהקמתו של מאיץ חלקיקי האנטי חומר הראשון מסוגו בישראל, הוא בוגר התוכנית ללימודי חלל באוניברסיטת החלל הבין לאומית.
