פָּלִינְדְרוֹם הוא רצף של סמלים שניתן לקרוא מימין לשמאל ומשמאל לימין באותו אופן. אילו מספרים ניתנים להצגה כסכום של שלושה פלינדרומים? מה אורכו של הפלינדרום הארוך ביותר בעברית? ומה היה מספרה של לוחית הרישוי שגרמה ליאן נירנברג לצאת למסע חיפושים שנמשך שנתיים? על שירים, מספרים ומנגינות שאפשר לקרוא גם מהסוף

יום אחד כאשר יאן נירנברג עבר על לוח מודעות המכירה של מכוניות, הוא נתקל ברכב למכירה בעל מספר רישוי מעניין מאוד! 88-888-88. מאותו הרגע יאן הרגיש שהוא חייב לתעד תמונה יפה של לוחית הרישוי הזו, אבל הבעלים במודעה ציין רק שם של ישוב עם תיאור כללי. במשך כמעט שנתיים יאן היה מגיע לישוב בוקר, צהריים ולילה עד שהצליח לצלם את התמונת המיוחלת [1].
88-888-88 הוא מספר מיוחד מאוד! אפשר לקרוא אותו מההתחלה לסוף ומהסוף להתחלה אותו הדבר. רצף תווים בעל התכונה הזו נקרא פלינדרום.

אם כך, פָּלִינְדְרוֹם הוא רצף של סמלים שקריאתו מימין לשמאל ומשמאל לימין היא זהה, למשל: 212, 101, אמא, אבא. כדי לקבוע האם רצף סמלים הוא פלינדרום לרוב מתעלמים מרווחים ומסימני פיסוק ולכן ביטויים כמו "חמצן+מימן+מימן: מים נְצַמֵחַ" (חובר על ידי עדן אזולאי) ו-"עד מהרה זהר המדע" [2] או התאריך 02.02.2020 גם הם נחשבים לפלינדרומים. 

מדוע אנשים מתעניינים בפלינדרומים? כנראה פשוט בגלל שהמוח האנושי מחפש חוקיות ותבניות בכל דבר ואוהב סימטריה. 

העיסוק הראשוני בפלינדרומים בימי הביניים החל בחיבורים מילוליים, ולאחר מכאן התרחב לתחומים נוספים כמו מתמטיקה ומוזיקה. באימפריה הביזנטית נהגו לחרוט על מתקן הטבילה את הפלינדרום שפירושו: "רחץ חטאיך, לא רק פניך" (תמונה 1).

תמונה 1: Christina Kekka from Athens, GreeceLight correction by Basile Morin / CC BY

בשירת ימי הביניים, בתקופת תור הזהב של ספרד, התעסקו רבות בכתיבה תחת מגבלות ובין השאר בשירה פלינדרומית. הרבי אברהם אבן עזרא (ראב"ע), הוגה דעות יהודי שעסק גם במתמטיקה, כתב פלינדרומים מעניינים רבים, מהידועים שבהם: "אבי אל חי שמך למה מלך משיח לא יבא?".

נעם דובב משורר פלינדרומים, מחבר ספר השירה הפלינדרומי הלימת המילה ובעל מספר תעודת זהות פלינדרומי. כותב שירים שנקראים מהסוף להתחלה באופן זהה. הוא חיבר את הפלינדרום העברי הארוך ביותר בין 1111 מילים ו-4,224 אותיות . לרוב קשה מאוד לתרגם פלינדרומים משפה לשפה, אך נעם דובב הצליח למצוא דוגמא לפלינדרום דו לשוני: "כלב, לך" מתרגם בדיוק ל-Go, dog. דוגמאות נוספות לשירה פלינדרומית אפשר למצוא בבלוג של נעם דובב.

סוג מאתגר במיוחד של פלינדרומים הוא ריבועי קסם. ריבוע קסם נקרא באופן זהה מההתחלה לסוף, וגם בקריאה למעלה למטה. הראב"ע המציא את הפלינדרום ההלכתי "פרשנו רעבתן שבדבש נתבער ונשרף" שנכתב כתשובה לשאלה האם צנצנת דבש שנפל אליה זבוב כשרה.

גם מתמטיקאים מצאו עניין בפלינדרומים. מתמטיקאים העוסקים בתורת המספרים, תחום מתמטי העוסק בחקר תכונותיהם של מספרים, חקרו את תכונותיהם של המספרים הפלינדרומים. למשל,  בשאלה האם ישנם אינסוף מספרים פלינדרומים ראשוניים. מספרים פלינדרומים ראשוניים הם מספרים פלינדרומים גדולים מאחת המתחלקים רק בעצמם ובאחת. לדוגמא:
2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929. 
השאלה  נשארה לא פתורה גם היום [3].

כאשר לוקחים מספר חיובי שלם, הופכים אותו ומחברים את היפוך הספרות למספר המקורי, ניתן ליצור פלינדרום. רוב המספרים יוצרים פלינדרום לאחר מספר חזרות קטן על התהליך. למשל:
47+74 = 121 או 346+643=989.
47 יוצר פלינדרום אחרי חזרה אחת: 47+74=121.
58 יוצר פלינדרום אחרי 2 חזרות: 58+85=143, 143+341=484.
95 יוצר פלינדרום אחרי 3 חזרות 95+59=154, 154+451=605, 605+506=1,111.

כ-80% מהמספרים עד 10,000 יוצרים פלינדרום לאחר 4 חזרות על התהליך ופחות. כ-90% מהמספרים יוצרים פלינדרום אחרי 7 חזרות.

האם כל מספר יהפוך לפלנדרום לאחר מספיק חזרות? מתברר שישנם מספרים החשודים ככאלו שלעולם לא יהפכו לפלינדרום לאחר התהליך, גם אחרי מספר רב של חזרות. מספרים אלו נקראים מספרי ליישרל והמספר הקטן ביותר החשוד בתור מספר ליישרל הוא 196, ולכן האלגוריתם של חיבור המספר להפוך הספרות שלו שוב ושוב נקרא אלגוריתם 196. [4]

בשנת 2017 פורסם מאמר אשר הוכיח שניתן לכתוב כל מספר חיובי הגדול מ-5 כסכום של שלושה פלינדרומים [5,6,7]. לדוגמא אם ניקח את תאריך הלידה של אלן טיורינג  23.06.1912 נראה שהוא ניתן להצגה כסכום של 3 פלינדרומים: 

גם מצלילים, כמו מאותיות ומספרים, ניתן להרכיב פלינדרומים. מוזיקה פלינדרומית היא מוזיקה שנשמעת אותה דבר אם מנגנים אותה מהסוף להתחלה.  הדוגמה המפורסמת ביותר היא קאנון הסרטן של יוהאן סבסטיאן באך, מתוך המנחה המוזיקלית:

אפשר למצוא דוגמאות לפלינדרומים מוזיקליים כבר מימי הביניים. גיום דה מאשו היה מלחין ומשורר צרפתי, הוא נחשב בעיני רבים למלחין החשוב ביותר של המאה ה-14. את אחד הטקסטים שלו, "הסוף שלי הוא ההתחלה שלי", הוא הלחין כפלינדרום. (הטקסט אינו פלינדרומי, אבל הוא כתוב בסוגה מחמירה אחרת - רונדו).

גם יוזף היידן, בסימפוניה ה-47 שלו, כתב את הפרק השלישי כפלינדרום.

מלחינים רבים במאות ה-20 וה-21 שילבו אלמנטים פלינדרומים ביצירות שלהם, לדוגמא אוליבייה מסיאן השתמש הרבה במקצבים פלינדרומים, ובלה ברטוק ובנג'מין בריטן בחרו מבנים פלינדרומים לחלק מיצירותיהם.

ראינו שפלינדרומים מופיעים הן במתמטיקה והן בשירה. על אף הגדרתם הפשוטה של פלינדרומים יצירת טקסטים פלינדרומים ארוכים היא משימה קשה. יצירת וגילוי פלינדרומים בשפה היא משימה מאתגרת אך מספקת, ולפעמים אפילו מקור לגאווה. גילתם או יצרתם פלינדרום? התגאו בו! כתבו לנו בתגובות.

לחובבי המספרים: תוכלו לבדוק מאלו פלינדרומים מורכב תאריך הלידה שלכם (או כל מספר אחר) .

וקינוח: שיר פרודיה של הקומיקאי וירד אל על בוב דילן בו כל משפט הוא פלינדרום

מקורות וקריאה נוספת:

[1] כתבה על לוחיות רישוי יפות
[2] חובר על ידי נעם דובב.
[3] פלינדרומים ראשוניים ויקיפדיה
[4] מספר ליישרל ויקיפדייה
[5] מאמר כל מספר הוא סכום של שלושה פלינדרומים
[6] הרצאת וידאו שמסבירה את המאמר
[7] אתר שמראה איך לפרק כל מספר לסכום של 3 פלינדרומים.