בחלק הקודם בסדרה סקרנו את הצעדים הראשונים בנסיונות לניסוח הנחות יסוד למתמטיקה, מיוון העתיקה ועד לעת המודרנית. במאה ה-19 ניסה המתמטיקאי הדגול דייויד הילברט למסד את חוקי המתמטיקה בת שנות אלפיים לכדי מערכת חוקים אחת ועקבית, אך נתקל במהרה בקשיים בלתי צפויים.

אחד האנשים שניגשו להבין לעומק את אותו הפלא המתמטי שנקרא טור פורייה (ראו חלק א׳), הוא המתמטיקאי גאורג קנטור, אשר זיהה בו תופעות עדינות במיוחד. ככל שקנטור התעקש והתמקד באותן התופעות העדינות, כך הוא הבין יותר שגם הגדרת הגבול של קושי ו-ויירשטראס (למי שלא זוכר, אנחנו ממליצים להציץ בפוסט הקודם) משאירה טעם לפגם. הגישה שלהם אולי הסבירה יותר טוב איך אפשר להסתכל על תופעות יותר ויותר ממוקדות. אבל גם בגישה הזאת היתה הנחת יסוד משמעותית -- המספרים הממשיים. כמו שניוטון הסכים לקבל על בסיס האינטואיציה את קיומם של האינפיניטסימלים, כך קושי וויירשטראס קיבלו כמובן מאליו את הישר הממשי בתור משהו שאפשר להבין אינטואיטיבית, ואין צורך להסביר איך הוא בנוי. קנטור מצא שבלי הגדרה מתמטית מדוייקת שלו, הוא לא מסוגל לתאר ולחקור את התופעות שהוא הבחין בהן. הרי אי אפשר לדון בתכונות של הישר הממשי עצמו, ללא הגדרה חד משמעית שלו. בשביל להתגבר על הבעיה, קנטור ניסה להתחיל לעבוד מאבן בניין יותר יסודית ולבנות את הישר הממשי ממנה, לצורך כך הוא השתמש במה שנקרא היום "קבוצה" (לצערי הרב, התופעות האלו אינן נגישות ללא הרקע המתאים. קוראים סקרנים עם קצת רקע במתמטיקה מוזמנים לקרוא עליהן כאן [1])

עבודה עם קבוצות אפשרה לקנטור להגדיר את המספרים הממשיים באופן חד משמעי, ולחקור את התכונות שלהם. אבל היא גם הובילה אותו למסקנות מאוד משונות. המשונה מכולן היתה העובדה שיש רמות שונות של אינסוף. באותם השנים, אינסוף לא נתפס כמשהו קונקרטי, אלא כסוג של עקרון. מאין דרך לתאר מסגרת דיון שבה חושבים על דברים סופיים אבל גדולים שרירותית. כל דיון על "תהליך אינסופי" היה בעצם דרך נוחה לדון בתהליך סופי שנמשך לפרקי זמן ארוכים מאוד. המחשבה על אינסוף כמשהו קונקרטי לא נתפסה כיותר משעשוע פילוסופי. עצם המחשבה שלא רק שיש משמעות מתמטית קונקרטית לגודל אינסופי, אלא שיש היררכייה שלמה של אינסופים שונים זה מזה, היתה בלתי נתפסת (למידע נוסף, היכנסו לאתר שלנו וצפו בסרטון). הרבה גורמים בקהילה המתמטית לא ראו בה ערך, אם לא בזו לה ממש. הפיזיקאי הדגול לאופולד קרוניקר אמר ש"איני יודע מה שולט בתאוריה של קנטור, פילוסופיה או תאולוגיה. אבל אני בטוח שאין שם מתמטיקה". הבוז שהקהילה המתמטית רחשה לקנטור הביא להתמוטטות עצבים מצדו, והוא סיים את חייו בבית הבראה.

למרות חוסר הבשלות של הקהילה המתמטית לקבל את תורת הקבוצות של קנטור, הפילוסופים עפו עליה. בזמן שהמתמטיקה התקדמה והתפתחה, הפילוסופיה של המתמטיקה נשארה די תקועה במקום. לוגיקה עוד לא היתה תחום מתמטי בפני עצמה, והנחות היסוד עליהן המתמטיקה התבססה היו מורכבות מדי מכדי שיהיה אפשר לדון בהן פילוסופית באופן אפקטיבי מספיק כדי לעניין מתמטיקאים. הרעיונות המרכזיים של הפילוסופיה של המתמטיקה לא השתנו באופן מהותי מאז שקאנט פרסם את "ביקורת התבונה הטהורה" כמעט מאתיים שנים קודם לכן. ואז פתאום הגיע מישהו שממש מבין במתמטיקה, והתחיל לדבר על זה שאפשר לבנות את כולה בעזרת ה"קבוצות" האלו שלו, שהתיאור שלהן מתמצה ב"אוסף של דברים", והראה איך אפשר להתחיל שם ולהגיע לתובנות מתמטיות עמוקות. אינטלקטואלים רבים כמו גוטלוב פרגה וברנהרט ראסל נדרשו אל הבעיה הזאת וכך נולדה הפילוסופיה האנליטית המודרנית.

אבל כשהשטן סוגר דלת הוא פותח חלון, והמושג החדש והפשוט לכאורה של קבוצה הביא איתו המון בעיות חדשות, כשהמפורסמת בהן היא הפרדוקס של ראסל [2]. ראסל הראה שניתן להגדיר קבוצה אשר מכילה את עצמה ולא מכילה את עצמה בו-זמנית, שזאת כמובן סתירה. בעשורים העתידים לבוא, נעשו מאמצים אדירים למצוא בסיס אקסיומטי אחיד למתמטיקה, אבל זה היה כמו לסתום סכר באגודל. כל ניסיון לבסס את המתמטיקה הביא איתו פרדוקסים חדשים, בעיות קשות, ויותר הכרה בכך שמדובר על אחת הבעיות המאתגרות ביותר שהפילוסופיה אי פעם נדרשה אליה. עם זאת, ככל שהעיסוק בבעיה גדל, כך גם המתמטיקאים צמצמו את הפער והחלו להבין את החשיבות של העבודה הזאת. פילוסופים ומתמטיקאים ביחד החלו ליצור מסגרות פורמליות שנהיו יותר ויותר רלוונטיות לעיסוק המתמטי. תוך מספר מועט של עשורים נולד תחום חדש -- הלוגיקה המתמטית -- שהציג כלים שאפשרו לנו לראשונה לשאול, באופן יחסית מדוייק וחד משמעי, שאלות על המתמטיקה עצמה.

המוטיב החוזר בסיפור, מאוקלידס ועד קנטור, היה מאוד ברור: העיסוק בבעיות מסויימות מראה שהבסיס הנוכחי למתמטיקה לא מדוייק מספיק, מסכימים על דרך חדשה ויותר מדוייקת להגדיר את הדברים, רואים כי טוב, וחוזר חלילה. התפתחות הפילוסופיה האנליטית והלוגיקה המתמטית אפשרו לפילוסופים ומתמטיקאים ביחד להבין את התהליך עצמו לעומק, ולנסות למצוא את הסוף שלו: בסיס למתמטיקה שיהיה מספיק מדוייק לכל צורך אפשרי. 

בתחילת שנות העשרים, המתמטיקאי האגדי דייויד הילברט הציג בפני העולם המתמטי יעד חדש -- למצוא ביסוס אקסיומטי אחיד למתמטיקה. ההתפתחויות החדשות משכו הרבה מאוד חוקרים ואינטלקטואלים, ותכנית הילברט תפסה תאוצה. הרבה לוגיקאים חשובים, לרבות ויליאם אקרמן וג'ון פון-ניומן, תרמו לה רבות ועזרו לחדד ולפתח את תורת הקבוצות ואת הלוגיקה.

בשנת 1931, נראה שהחלום של הילברט הגיע לסופו. הלוגיקאי קורט גדל פרסם מאמר בו הוכיח שתי תוצאות בשם "משפטי אי-השלמות". מדובר על משפטים מאוד עדינים, שמאוד קל להבין לא נכון, והם לחם וחמאה עבור טרחנים מתמטיים מכל הרמות. אבל בגסות, אפשר להגיד שרוח הדברים היא שאם תורה מתמטית היא מספיק חזקה בשביל לתאר את החיבור והכפל של מספרים טבעיים, אז היא לא מסוגלת להוכיח את העקביות של עצמה. במילים אחרות, הדרך היחידה לבסס את המתמטיקה באופן שבו יהיה ניתן להוכיח שהמתמטיקה עצמה עקבית היא אם הבסיס שלנו למתמטיקה יהיה כל כך חלש שאי אפשר לנסח בעזרתו מה הם חיבור וכפל. עצם העובדה שאפשר להשתמש בהנחות היסוד שלנו כדי לתאר את החיבור והכפל אומר שהן מייצרות עושר עצום של מסקנות. כל כך עצום למעשה, שהוא חורג מעבר ליכולת שלנו להוכיח דברים, אם נשתמש באותן הנחות היסוד כדי להגדיר מה היא הוכחה. מושג ההוכחה שנגזר מהנחות היסוד שלנו תמיד יהיה יותר חלש מאוסף האמיתות שנובעות מהן. בניגוד למה שחלקכם אולי שמעתם, משפטי אי-השלמות לא אומרים ש"יש אמיתות שבלתי אפשרי להוכיח" או שום דבר כזה, הם לא מעידים על "שבר במתמטיקה" ולא מבטלים אף תחום דעת. גם אם מפתה להציג אותם כך. לדיון יותר מעמיק ומדוקדק במשפטי אי השלמות, נמליץ על הפוסטים הבאים [3,4].

מבחינת הרבה אנשים, הטיעון של גדל היה מסמר האחרון בארון הקבורה של תכנית הילברט. הרי מה הטעם לנסות לבסס מתמטיקה שלא יכולה להוכיח את העקביות של עצמה? אבל בשביל רבים אחרים, זו היתה רק ההתחלה. הרי כל טיעון מתמטי, לרבות זה של גדל, מבוסס על הנחות יסוד מתמטיות. מעבר לזה, יש טעם לשאול מה בכלל מאפיין בסיס למתמטיקה, ולטעון שאם נרגיע קצת את הדרישות שלנו מבסיס כזה, אולי נוכל למצוא אחד. תחום מחקר עצום ופורה בשם "מתמטיקה יסודית" נדרש בדיוק לזה, ועד היום, כמעט מאה שנים אחרי, תובנות חדשות ומרגשות מתפרסמות מתוך המאמץ להגשים את רוחה של תכנית הילברט בצל משפטי אי-השלמות של גדל.

לחלק הקודם בסדרה

מקורות וקריאה נוספת:

1. תורת הקבוצות
2. פרדוקס ראסל
3. על משפט אי השלמות של גדל 1
4. על משפט אי השלמות של גדל 2

• על היסודות של אוקלידס
• על החשבון הדיפרנציאלי
• תכנית הילברט באנציקלופדיה לפילוסופיה של סטנפורד
• על קורט גדל