האיור שבתמונה למעלה מסכם יצירה שנבנתה על ידי הרבה מתמטיקאים במשך כמאה שנה ועונה על שאלה פשוטה להבנה, אבל קשה לפתרון: האם ניתן לרצף למשל את קירות חדר האמבטיה שלכם (או בהרחבה: מישור אינסופי) באמצעות אריחים שווים בצורת מחומש? נראה כיצד המתמטיקאים התמודדו עם הבעיה, ומצאו שיש בדיוק חמישה עשר סוגים שונים של ריצוף במחומשים, שתוכלו לבחור מתוכם כרצונכם.

את הפוסט כתבו דורון אורנשטיין ונצה מושוביץ הדר, ידידת העמותה

דמיינו שחשקה נפשכם לכסות את קירות חדר האמבטיה באריחים מחומשים שווים זה לזה. המוכרים בחנות יסתכלו עליכם כאילו נפלתם על הראש, שכן בחנות יש בדרך כלל אריחים ריבועיים או מלבניים, ולעיתים רחוקות גם משושים. אולם מה לגבי מחומשים? האם זה בכלל אפשרי?

אם ננסה לרצף קיר באריחים בצורת מחומש משוכלל (שבו כל הזוויות שוות), נגלה שיש בעיה: סכום הזוויות במחומש הוא 540 מעלות, ולכן כל זווית היא בת  540/5=108 מעלות. כשתתחילו לרצף, כנראה תניחו תחילה שני מחומשים זה לצד זה כך שהם יהיו בעלי צלע משותפת ושני קודקודים משותפים. כאשר תוסיפו אריח מחומש שלישי, הוא יהיה בעל קודקוד משותף עם שני האחרים וצלע משותפת עם אחד מהם. בקודקוד המשותף תיווצר זווית בת 324=108*3 מעלות, לפיכך יישאר רווח שמידת הזווית שלו היא 36 מעלות עד לכיסוי מלא של 360 מעלות. רווח זה קטן מידי ולא מאפשר להשתמש באריח רביעי (ראה ציור). בדומה, גם אם ננסה לחבר שלושה אריחים שרק לשניים יש קודקוד משותף נגלה שזה לא יצלח. לכן, ריצוף באמצעות מחומשים משוכללים הוא משימה בלתי אפשרית.

כותרת: נסיון לריצוף באמצעות מחומש משוכלל.

האם ניתן להשתמש באריחים מחומשים אחידים שצורת כל אחד מהם היא מחומש לא משוכלל? האם ניתן לשבץ אריחים כאלה בלי שייוצרו רווחים? כלומר כך שבכל קודקוד משותף סכום הזוויות יהיה 360 מעלות? ריצוף כזה (של המישור האינסופי) העסיק מתמטיקאים במשך קרוב למאה שנה, ויצר סיפור מרתק [1][2]. בשנת 1918 גילה המתמטיקאי הגרמני קרל ריינהרדט את חמשת הטיפוסים הראשונים של מחומשים שמאפשרים זאת. בשנת 1968 פרסם המתמטיקאי האמריקאי ריצ'ארד קרשנר שלושה טיפוסים נוספים של מחומשים, וטען ששמונה הטיפוסים ממצים את כל האפשרויות. אולם, בשנת 1975, כשמרטין גרדנר כתב על כך בטורו בעיתון סיינטיפיק אמריקן, הוא קיבל מהקוראים עוד חמישה טיפוסים, ארבעה מהם ממרג'ורי רייס, עקרת בית בעלת רקע מתמטי של בוגרת תיכון החובבת מתמטיקה. בשנת 1985 נמצא עוד מחומש מתאים, ורק לאחר 30 שנה בשנת 2015, התגלה טיפוס מספר 15. במשך  השנתיים הבאות לא היה ברור אם העתיד טומן בחובו גילוי של עוד ועוד סוגים חדשים, או שבכך הסתיים המירוץ לגילוים, עד שבקיץ 2017 הוכיח המתמטיקאי הצרפתי מיכאל ראו בסיוע מחשב שאין יותר מ-15 טיפוסים של ריצופי המישור במחומשים קמורים אחידים (עד כדי הזזה, שיקוף או סיבוב). כיצד ראו עשה זאת?

כדי לנתח את הבעיה, מיכאל ראו כמו גם מתמטיקאים שקדמו לו הפכו את הבעיה הגיאומטרית לבעיה אלגברית. נסמן את זוויות המצולע שסכומם 540 מעלות באותיות A,B,C,D,E. עבור כל קודקוד בריצוף שכזה אפשר לכתוב משוואות: למשל, נניח שבפתרון יש איפשהו מקום במישור, שבו יש מפגש קודקודים של שלושה מחומשים כאלו, שבאחד מהם משתתפת זווית A ובשתיים האחרות זווית B. לפיכך, נקבל משואה: A+2B=360. למשל, אם יש מפגש של שני קודקודים עם זוויות C ו-D באמצע צלע שלישית נקבל C+D=180 וכולי. כעת אפשר לייצג את המשוואות הללו בצורה וקטורית, לעשות בהם להטוטים ולהוכיח משפטים כמו שמתמטיקאים אוהבים. מיכאל ראו הוכיח שכל הפתרונות ניתנים לייצוג על ידי פתרונות מחזוריים סופיים, ולא צריך לנסות לשבץ עד אינסוף. כדי להוכיח שיש מספר סופי של פתרונות ולמצוא אותם, ניסה ראו באמצעות תוכנת מחשב להקטין את מספר הקבוצות של משוואות המייצגות קשרים בין זוויות המחומש על ידי סינון האפשרויות שלא התאימו. התכנית השתמשה בתנאים על סכום הזוויות במחומש וסכום הזוויות במפגשי קודקודים, ובעובדה שכל הזוויות צריכות להשתתף במידה שווה בריצוף האינסופי. על ידי שימוש בתוכנית, הוא הצליח לצמצם את הבעיה ל-371 קבוצות של משוואות. השלב הבא כלל בניית תכנית נוספת, שבדקה האם ניתן לבנות פתרון גיאומטרי מהמשוואות שנותרו. בסיומו של התהליך, הוכיח מיכאל ראו שיש רק 15 פתרונות לבעיה, שהם גם הפתרונות שנמצאו לפניו. הנה למשל קבוצת המשוואות עם הקשרים בין הזוויות A, B, C, D, E,  שמאפיינות את טיפוס-15: C+2D=360; 2B+E=360; 2A+D=360. 2E=180. כל מחומש שצלעותיו וזוויותיו מקיימות את הדרישות הללו (ויש אינסוף כאלה!) נחשב כשייך לטיפוס מס. 15. ראו הודה בראיון שזה היה קצת מאכזב לגלות שבכך תם החיפוש אחר סוגים נוספים של מחומשים המאפשרים ריצוף, אבל הוא תמיד ייזכר כמי שנתן את אקורד הסיום החגיגי לבעייה.        

לסיכום, ראינו שיש בדיוק חמישה עשר טיפוסים של ריצופים אפשריים. בנוסף, הראנו שחקירת נושא מתמטי היא תחום מרתק שאורך לעיתים הרבה שנים ומשתתפים בו מתמטיקאים רבים, וגם חובבים. בימינו, מהנדסים רבים מציעים פתרונות לבעיות הקשורות למתמטיקה על ידי קֵרוּבִים ועיגול פינות ,וגם הָרַצָּפִים מנסים לעיתים למלא רווחים באריחי הקרמיקה, גם כאלו שלא בדיוק תואמים, על ידי מילוי רובה. לעומתם, המתמטיקאים מחפשים פתרונות מושלמים. בעתיד, כנראה הרבה פתרונות הנדסיים עכשוויים יחלפו ויעלמו, וגם הרובה בחדר האמבטיה יתקלף. אולם, אין ספק שגם בעוד מאה שנה, אנשים יוכלו לקרוא על המתמטיקאים שתרמו לידע המתמטי, על ראו שסיפק את ההוכחה, וגם על חובבת המתמטיקה מרג'ורי רייס. למרבה האירוניה, מרג'ורי נפטרה ביולי 2017 ממש באותו חודש בו ראו פרסם את ההוכחה שלו ולא זכתה לדעת שארבעת הטיפוסים שהיא גילתה מהווים מעל לרבע ממספר הטיפוסים האפשריים של ריצוף במחומשים אחידים.

מקורות וקריאה נוספת:

 [1] Pentagon Tiling Proof Solves Century-Old Math Problem

[2] ריצוף חדש ממחומשים 1, מדור חדשות מתמטיות, כתב עת למחקר ולעיון בחינוך מתמטי – גיליון 4