לאחרונה הוצג סרטון ב"כאן-11" [1] המתאר את סיפורו של סטפן מנדל, מתמטיקאי יהודי ישראלי ניצול שואה, שפיתח שיטות מתמטיות כדי לזכות בלוטו. סטפן עשה זאת בשלוש מדינות (רומניה, אוסטרליה וארצות הברית) וגרף מיליונים. עקב הסתבכותו עם רשויות החוק בישראל, הוא יושב בגלות ומבקש כעת לחזור. האיש וסיפורו מרתקים, אך מה הקשר למתמטיקה ואיך ניתן לפצח את הלוטו? 

בקטנה: לאחרונה הוצג ב"כאן-11" [1] סרטון המתאר את סיפורו של סטפן מנדל, מתמטיקאי יהודי ישראלי ניצול שואה, שפיתח שיטות מתמטיות כדי לזכות בלוטו. סטפן עשה זאת בשלוש מדינות (רומניה, אוסטרליה וארצות הברית) וגרף מיליונים. עקב הסתבכותו עם רשויות החוק בישראל, הוא יושב בגלות ומבקש כעת לחזור. האיש וסיפורו מרתקים, אך מה הקשר למתמטיקה ואיך ניתן לפצח את הלוטו? 

למשחק הלוטו יש  גרסאות רבות שמשתנות ממדינה למדינה. השיטה לזכייה שהייתה נהוגה ברומניה בשנות השישים הייתה ניחוש 6 מספרים שהוגרלו מתוך המספרים מ-1 עד 40. לפי חישוב מתמטי בסיסי, יש 3.8 מיליון אפשרויות למלא את הטפסים, ולכן הסיכוי להגריל דווקא את המספרים הזוכים הוא אפסי. חישובים כאילו הם הבסיס לכל תעשיות ההגרלות. האם יש דרך לפצח את השיטה הזו?

הגישה הבסיסית ביותר היא פשוט לקנות הרבה טפסים כדי להגדיל את הסיכוי לזכות בפרס הראשון. אולם, כמות האפשרויות כל כך גדולה שההוצאה על הטפסים תמיד תהיה גדולה משמעותית מהסיכוי לזכות. אין דרך לתקוף את השיטה הזאת. עם זאת, חלק מחברות הלוטו מציעות פרס שני על ניחוש של חלק מהמספרים, וכאן כבר נכנסות תופעות עדינות יותר. לטענת מנדל, זו היתה התובנה הראשונה בדרך לשיטה שלו.

בואו נדמיין משחק לוטו פשוט מאוד. במשחק הזה אתם משלמים שקל עבור טופס בו אתם בוחרים ארבעה מספרים בין 1 ל-6. לאחר מכן אני מגריל ארבעה מספרים, ואם אלו אותם המספרים אז זכיתם בעשרה שקלים! קל לחשב שיש 15 דרכים למלא את הטופס, לכן, אם תקנו חמישה עשר טפסים תוכלו להבטיח את הנצחון שלכם, אך המחיר שתשלמו יעלה על הפרס.עכשיו בואו נניח שיש גם פרס שני -- מי שהצליח לנחש שלושה מתוך ארבעת המספרים זוכה בחמישה שקלים. האם אנחנו יכולים להשתמש בזה כדי להרוויח בודאות? בשלב זה נמליץ לכם לעשות הפסקה קצרה מהפוסט, לקחת נייר ועט ולנסות בעצמכם.

כמו שהטבלה מראה, ניתן לקנות שלושה טפסים בלבד כך שלא משנה אילו ארבעה מספרים נבחר, לפחות שלושה מהם יהיו בטופס אחד! למשל: (1,2,3,4), (3,4,5,6), (5,6,1,2). זה מראה שרק על ידי כך שהוספתי פרס שני, אפשרתי לכם להרוויח בוודאות!

כדאי לציין שלשיטה זו מגרעות רבות והעיקרית בהן היא שהפרס בלוטו מתחלק בין הזוכים. חברות הלוטו יודעות היטב שצמצומים כאלו אפשריים, אבל זה לא מפריע להן. זאת מפני שהן יודעות שהרבה אנשים ישתמשו בהן ויקנו הרבה טפסים לצורך כך, אבל בסופו של דבר יאלצו להתחלק בפרס. אם נרכשו מספיק טפסים כדי להחזיר את הפרס, חברת הלוטו הרוויחה, ולא איכפת לה איך הוא מתחלק ובין כמה אנשים.

כמובן שזו הדגמה פשוטה במיוחד. מנדל, לרוע המזל, לא מתאר את השיטה שלו, ולא ברור איך הצליח לצמצם (בהנחה שאכן הצליח) את מספר הטפסים הדרושים כדי להבטיח נצחון במקום השני לכדי כמה מאות בלבד. אם מנדל אכן הצליח לנצח את הלוטו, הוא היה צריך לשם כך יותר משיטת דחיסה טובה. הוא היה צריך שהדרך היחידה לעשות כן תהיה כל כך מורכבת שאף אדם אחר לא יעלה עליה. וגם אז, מספיק שמעט אנשים יזכו בנתח מהפרס על בסיס מזל טהור בלבד כדי להפוך את הנסיון כולו ללא רווחי.

כיום מפעילות הלוטו חכמות יותר, ויודעות להלחם בתופעות כאלו באמצעות תכנון זהיר של חוקי ההגרלה והזכאות לפרס (וכן על ידי רגולציות שונות כמו איסור השימוש במדפסות ביתיות להדפסת טפסים). אבל כדאי תמיד לזכור איך מתמטיקאי יצירתי הצליח לפצח את השיטה ולהרגיע את אימו מהפחד שיגיע לחרפת רעב, והוא בן 24 בלבד.

קישורים:

[1]    סרטון (כאן 11)