לכבוד יום הפאי שאנו מציינים ב-14.3, נספר לכם על המורה עדינה ועל חלוקה הוגנת שתמנע קנאה. הפוסט נכתב במסגרת ניסיון חדש שלנו לתת נופך סיפורי להסברים מדעיים. נשמח לתגובותיכם.

ליבה של עדינה הולם בחוזקה כשהיא מדמיינת את עצמה עומדת מחר מול כיתה, בשיעור ההתנסות הראשון שלה בהוראת מתמטיקה. היא מרפרפת בין תכנים ברשת ומחפשת חומר לשיעור העשרה, כזה שירתק את התלמידים ויוריד, ולו במעט, את מפלס החרדה שלה.

גילה של עדינה כבר נושק לארבעים, אולם בשל קומתה הנמוכה, גזרתה הדקיקה ועיניה הגדולות והסקרניות היא נראית צעירה מכפי גילה. "את תצטרכי לכתוב על החולצה: אני פה המורה!" אמרה לה בתה הגדולה תמר, כשהחליטה לעשות הסבה מהייטק להוראת מתמטיקה.

עדינה משוטטת ברשת ומוצאת שלל בעיות בנושא חלוקת עוגה, נושא פופולרי בקרב מתמטיקאים ומורים, אולם תמונה אחת של פאי פירות קיץ עם קרם וניל, חתוך לשלוש פרוסות, מעוררת בליבה זיכרונות שמכווצים את ביטנה:

*

עדינה ושתי אחיותיה הגדולות יושבות במטבח סביב שולחן האוכל, אימה מניחה במרכז השולחן פאי פירות ואומרת לאחותה הגדולה, אביטל, שהייתה אז בת 12: "אני צריכה ללכת לקניות. חלקי את העוגה". האחיות הגדולות מסתודדות ומתלחשות, ואז, בשלושה חיתוכי סכין מהירים שנפגשים במרכז, אביטל מחלקת את העוגה לשלוש פרוסות – שתיים גדולות ואחת דקה.

לפני שעדינה מספיקה להגיב, אחיותיה גוררות את הפרוסות הגדולות לצלחות שלהן ומותירות בתבנית את הפרוסה הדקיקה. "זה לא פייר!" צועקת עדינה בזעם.

"את קטנה, אז תקבלי חתיכה פצפונת" עונה אביטל.

"זה לא פייר, צריך לחלק שווה!"

"איך אפשר לחלק שווה? אין סימון על המגש"

היא קמה מהשולחן, עיניה מלאות דמעות, מפילה את כיסאה בזעם ונמלטת לחדרה.

*

"מחר אראה לתלמידים איך להיות הוגנים ולחלק עוגת פאי לשלושה חלקים שווים!"
כדי לתרגל מוציאה עדינה פאי פטריות מהמקרר, מציבה אותו על דף נייר ומשרטטת סביבו את צורת המעגל. היא שולפת מתיקה סרגל ומחוגה, מבצעת בנייה הנדסית (שרטוט הנדסי באמצעות סרגל ומחוגה) ומסמנת על הדף שלוש נקודות על היקף העיגול וגם את נקודת מרכז העיגול. כעת היא מצמידה את הדף לפשטידה וחותכת בעזרתו שלוש פרוסות, שאכן נראות שוות בגודלן.

*

זוהי שעת צהריים של יום אביבי. שלושת ילדיה של עדינה, תמר, אורי ויוגב, שבים מבית הספר ומתבוננים באימם בשעה שהיא חותכת את הפשטידה ונותנת לכל אחד מהם פרוסה בגודל אחיד.

"אמא תמיד דואגת שיהיה הוגן!" אומר יוגב בהערכה.

אורי, שנמצא בתחילתה של תקופת ההתבגרות, מתווכח כהרגלו: "זה לא הוגן. בחתיכה של תמר יש יותר פטריות!"

עדינה קופאת לרגע, ואז נזכרת בהרצאה ששמעה פעם: "יש במתמטיקה שיטות לנטרול קנאה".

שלושת הילדים מתבוננים בה בפליאה: "מתמטיקה מנטרלת קנאה?!" הקשר נראה להם הזוי.

בעודם נוגסים בפשטידת הפטריות ומערבבים אותה עם גבינה לבנה וסלט ירקות, ממשיכה עדינה:

"למשל, אם רוצים לחלק בין שניים פשטידה כזאת, שהפטריות לא מסודרות עליה באופן אחיד, כך שאף אחד לא יקנא באחר, מה אפשר לעשות?"

הילדים ממשיכים לאכול בשתיקה.

"פשוט לתת לאחד מהם לחתוך, ולשני לבחור. החותך ינסה לחלק את הפשטידה לשניים בצורה הוגנת, כי אם אחד החלקים יהיה שווה יותר, השני יבחר בו, והוא יזכה בחלק הפחות טוב. יש פתרון דומה למניעת קנאה גם בחלוקה בין שלושה".

הילדים מהרהרים בשקט, ואז תמר פולטת:

"אמא, זה מזכיר לי משהו שרציתי תמיד לשאול: כשהיינו יוצאים לארוחות בוקר במסעדה ליד הים, ואת ואבא הייתם חולקים חביתה, את תמיד היית זאת שחותכת, וגם זאת שלוקחת את החלק הקטן. ולא רק בחביתה. למה היית כזאת ותרנית?"

פניה של עדינה מאדימות. זו הייתה סוגיה שחשבה עליה רבות. היא שותקת ומהרהרת: אולי היא הייתה עדינה וותרנית מדי בזוגיות, וזאת הסיבה שבעלה, אב ילדיה, איבד עניין ועזב אותה? אבל לא היה בזה היגיון מתמטי.

מי שמפר את השתיקה המביכה הוא יוגב, ששואל: "אבל מה עושים כשמישהו אחר הוא זה שחותך?" עדינה שמחה שהוא מתעניין: "ב-1961 הציעו שני מתמטיקאים אמריקאים פתרון שנקרא שיטת הסכין הנעה."
היא מוציאה מהמקרר את עוגת הגבינה המלבנית שאפתה, נוטלת סכין גדולה ומציבה מעל המגש. "אזיז את הסכין לאט מימין לשמאל. כשהסכין תעבור מעל מה שנראה לכם שליש מהעוגה, כל אחד ירים יד ויצעק: "עכשיו". אני אחתוך ואתן את הפרוסה לראשון שיצעק. כדאי לכם לצעוק מייד ולא לחכות, כי אם הסכין תעבור את קו השליש, מישהו אחר יצעק לפניכם ויקבל פרוסה גדולה משליש."

הילדים נדרכים, הסכין זזה לאיטה, ואז, בערך בשליש הדרך, צועקים שלושתם כמעט יחדיו. תמר, שצעקה ראשונה, מקבלת את הפרוסה. על המגש נותרים שני שלישים של העוגה, ועדינה ממשיכה באותו אופן, בשיטת "הסכין הנעה", לחלק את מה שנותר בין אורי ויוגב.

עדינה נושמת לרווחה, אולם תמר משמיעה צעקה: "זה לא הוגן!"

עדינה מתחילה לענות: "כן, יש פיתוח מתמטי מורכב יותר, שיכול לפתור גם את הקנאה של מי שפרש ראשון…" אולם תמר קוטעת אותה:

"לא אמא, זה לא פייר. אני יודעת כמה את אוהבת עוגות גבינה. את שוב ויתרת על החלק שלך!"

תמר מחזירה את שלוש הפרוסות למגש, מצמידה אותן זו לזו , חותכת ללא היסוס את העוגה לארבע פרוסות שנראות לה שוות בערך, ומעבירה אותן לצלחות.

*

לרגע עדינה שוב ילדה, יושבת מול פאי פירות הקיץ עם קרם הווניל, אבל הפעם ילדיה לצידה, והם מחלקים את הפאי בהגינות.

עדינה מתנערת, מחבקת את ילדיה בחום ומהרהרת: "זהו, יש לי מה לספר מחר לתלמידים".

****

נושא "חלוקת עוגה" במתמטיקה מייצג את האתגר בחלוקת משאב כלשהו – כסף, חלקת אדמה ועוד – באופן שלא יגרום לקנאה. הרבה עבודה מתמטית נעשתה בנושא [1]. לפרטים נוספים ראו לדוגמה מצגת יפהפייה [2]. לגבי חלוקת מעגל לשלוש גזרות שוות שטח, התוכלו להציע כיצד לבצע את הבנייה ההנדסית? האם נוכל להיעזר בבנייה הנדסית לחלוקה שווה עבור כל מספר של חלקים? (ראו [3].)

(הסיפור נכתב בשיתוף משתתפי סדנת כתיבה בהנחיית הסופרת אילנה זיידמן. תודה על המשובים המעולים!)

עריכה: סמדר רבן

מקורות והרחבות

[1] חלוקת עוגה ללא קנאה

[2] מצגת בנושא "חלוקת עוגה"

[3] בנייה הנדסית