משפט החזקה שניסח החוקר סטנלי סטיבנס תיאר קשר מתמטי בין עוצמת גירוי חושי לעוצמת התחושה שהוא מעורר. נספר ונדגים באמצעות יישום לשמירת תמונות באיכות משופרת בטכניקה שנקראת "תיקון גמא".

אופס! האוטובוס ביצע פנייה חדה שמאלה, ורגלי זזה ונגעה ברגלה של הבחורה הזרה שלצידי. התנצלתי במבוכה, ומיהרתי להחזיר את רגלי. היה זה בנסיעה לילית לאילת, בשעה שניסינו לתפוס תנומה בדרך הארוכה. כעבור כמה דקות סטה האוטובוס ימינה, והפעם רגלה פגעה ברגלי. ככה המשיכה הנסיעה, ואנחנו שני זרים שמנסים לישון, אבל הרגליים שלנו נפגשות, לעיתים במגע קליל ולעיתים חזק יותר.

כדי להתגבר על המבוכה, שקעתי בהגיגים על הקשר שבין עוצמת מגע לתחושה שהיא מעוררת, ונזכרתי במשפט החזקה של סטנלי סטיבנס [1].  סטיבנס היה חוקר ידוע בפסיכו-פיזיקה, תחום העוסק ביחס בין גירויים פיזיים לתחושות של מי שחווה אותם. למשל, אם נחזיק משקולת של 200 גרם, נחוש אותה היטב. לעומת זאת, אם נחזיק משקולת של קילו ונוסיף לה עוד 200 גרם, בקושי נרגיש בהבדל: הגירוי החלש מורגש היטב, אבל תוספת בעוצמה זהה לגירוי חזק שכבר קיים, כמעט שאינה מורגשת. מחקרים קודמים חקרו את התופעה (חוק ובר-פכנר [2]) ומחקרים רבים דנים בסף הרגישות לגירוי קטן. אולם סטיבנס, שהיה חוקר שאפתן, חיפש פונקציה מתמטית פשוטה שתתאר את הקשר בין גירוי לתחושה, שתהיה תקפה עבור עוצמות מגוונות של גירויים, עבור אנשים שונים במצבים שונים, ותתאים לכל חמשת החושים! יומרני, לא כן?

התחום הראשון שסטיבנס חקר היה הקשר בין עוצמתו של צליל שהושמע לנחקרים לערך המספרי שהם נתנו לתחושת העוצמה [3]. הוא מצא שיטת מחקר יעילה שסייעה גם בניסויים אחרים: אם מגדירים עוצמת בסיס, משמיעים את הצליל, ומיד מבקשים  מהנבדקים להעריך את הרגשת העוצמה של צלילים אחרים ביחס לבסיס (למשל: "הרגשתי כחצי מעוצמת הבסיס") התוצאות היו עקביות בדרך כלל, וסטיבנס מצא חוקיות מעניינת שחזרה עבור נבדקים רבים ברמת מובהקות גבוהה.

גילויים דומים חזרו על עצמם בניסויים אחרים, וסטיבנס הגדיר חוק אמפירי שפרסם בשנת 1957: אם עוצמת הגירוי היא x (נניח בין 0 ל-1) והתחושה שלנו היא y (נניח ערך מנורמל בין 0 ל-1), אזי y שווה ל-x בחזקת פרמטר שנקרא לו k, כאשר k קבוע חיובי התלוי בסיטואציה (כלומר בניסוי הספציפי). חוק מדהים בפשטותו! y=x^k.

עבור k קטן מאחד, הפונקציה מתחילה בעלייה תלולה (בלשון מתמטית: בעלת נגזרת גדולה), אבל לקראת x=1 העלייה מתמתנת. בניסוי עוצמת הרעש, סטיבנס דיווח על k=0.67, ובהצבה מתקבל שעבור גידול בעוצמה x מ-0.1 ל-0.2, התחושה y עולה  ב-13%. לעומת זאת, עבור גידול מ-0.8 ל-0.9 התחושה גדלה רק ב-6%, כלומר הרגישות לשינוי קטנה. אפשר לראות את התוצאות בגרף שבאתר.

סטיבנס פרסם שלל ניסויים שבהם k<1, אבל גם ניסויים שבהם נמצא k>1. במקרה זה הפונקציה מתנהגת באופן שונה: בהתחלה שיפוע העלייה קטן, אולם כשמתקרבים ל-1=x העלייה הופכת תלולה. דוגמה לניסוי כזה היא הרגשת מליחות שבה k=1.4. בהגדלת ריכוז המלח בין x=0.1 ל-0.2 תחושת המליחות y עולה ב-7%. לעומת זאת, עבור גידול מ-0.8 ל-0.9 התחושה עולה ב-14%. אולי זה מסביר מדוע חלק מהאנשים נהנים להוסיף עוד ועוד מלח...

החוק זכה לעניין ולפרסום נרחב, אבל גם לביקורת רבה, בהיותו חוק היוריסטי המבוסס על התאמת נקודות בגרף למקרים ספציפיים (אגב: לא מצאתי ניסוי מתאים למגע רגליים באוטובוס חשוך), ללא פרסום רמת המובהקות ואין מאחוריו הסבר תאורטי. במשך השנים התפתח מאוד המחקר של תפיסות חושיות, כולל תיאורים מתמטיים מפורטים, וחוק סטיבנס נחשב כיום לקוריוז היסטורי.

גם בעולם האקדמי משתמשים בפונקציית החזקה. ניקח דוגמה: מרצה חיברה מבחן שאי אפשר לעמוד בו. רוב הסטודנטים נכשלו, והמרצה טובת הלב השתמשה בפונקציית החזקה עם k=0.5, מה שקרוי "פקטור השורש" לשיפור הציונים: הציון הסופי התקבל על ידי חישוב השורש הריבועי של הציון במבחן והכפלתו ב-10. כך מי שקיבל 36 יקבל 60, ציון 49 יטפס ל-70 וכו'. שיטה זו שומרת בדרך כלל על הדירוג בין הסטודנטים, אבל לא תמיד: קחו את דני למשל. הציון שלו היה הגבוה בכיתה – 83, ואחרי פקטור השורש הציון הסופי שלו עמד על 91.1. בפקולטה נוהגים לעגל ציונים למספר שלם, ולפיכך הציון הסופי שלו היה 91. יוסי קיבל רק 82, והציון המעודכן שלו אחרי הפקטור היה 90.6, ולאחר העיגול 91 – כמו של דני!

ובכן יש כאן אפקט מתמטי נוסף: עיגול למספר שלם. ליוסי אין טעם להגיש ערעור כדי להעלות את הציון מ-82 ל-83 כיוון שהוא לא חוצה את סף הרגישות. פקטור השורש מאפשר לשמור את הציונים הנמוכים במחשב הפקולטי בדיוק גבוה יותר משל הציונים הגבוהים. 

נשתמש בסיפור זה כאנלוגיה ליישום של חוק החזקה לשמירת תמונות באיכות משופרת, למשל בפורמט JPEG. נניח למען הפשטות שצילמנו תמונה בשחור לבן. ערכי הפיקסלים שנשמרים בקובץ הם מספרים שלמים בין 0 (שחור) ל-255 (לבן). סטיבנס גילה שהעין רגישה יותר להבדל בין צבעים כהים לעומת בהירים (k=0.5). לפיכך, בעת הצילום נרצה לשמור גוונים כהים (באנלוגיה: ציונים נמוכים) ברזולוציה גבוהה יותר לעומת הבהירים. נשתמש בשיטה דומה ל"פקטור השורש": נעלה כל ערך בהירות (בין 0 ל-1) בחזקת k, נכפיל ב-255 ונעגל למספר שלם בין 0 ל-255 - אותו נשמור. במקום 0.5, הערך המקובל בתעשייה ל-k הוא 1 חלקי 2.2 שזה 0.45. שיטה זו  נקראת "תיקון גמא". בעבר היא שימשה לתיקון עיוותים במסכי מחשב ישנים, וכיום היא פרקטיקה מקובלת לשמירת תמונות באיכות משופרת.

כיצד נראית תמונה לפני ואחרי תיקון גמא, עבור תחומי גמא שונים? כיצד משתנה ההיסטוגרמה של ערכי התמונה? מוזמנים להשתמש באפליקציה שפיתחנו להדגמה [4].

בינתיים הזדקפה הבחורה שלידי ושלפה סלסילת פירות. אני המשכתי להרהר על תיקון גמא ופינטזתי על בניית אפליקציה בשילוב היסטוגרמה. ברקע נשמע ברדיו קולו של שלמה ארצי, "אוכלת לבדה ת'תות / היא לא יודעת, מה עובר עליי".

עריכה: שיר רוזנבלום-מן

מקורות לקריאה נוספת

[1]  משפט החזקה     

[2]  חוק ובר-פכנר

[3]  חוק החזקה

[4] אפליקציה לשיפור תצוגת תמונה

את האפליקציה פיתחה טניה אורנשטיין, מהנדסת מחשבים ומרצה בתחום תוכנה.