שלושת הגופים וכאוס
07/05/2024
מראשיתה של הפיזיקה הניוטונית התחבטו הפיזיקאים בשאלה כיצד ינועו שלושה גופים כאשר פועל עליהם כוח המשיכה הכבידתי. זוהי שאלה חשובה ומעניינת שקיבלה מענה מפתיע בידי אנרי פואנקרה במאה ה-19.
חלקכם בוודאי צופים בימים אלו בסדרת המדע הבדיוני המיסטית ״בעיית שלושת הגופים״ בנטפליקס, ותוהים על מה המהומה. בלי לעשות ספויילרים, נספר מהי אותה בעיה מפורסמת ונבדוק אם אזכורה בסדרה קשור לבעיה האמיתית בפיזיקה שבה עוסקים פיזיקאים גם היום?
כאשר ניסח סר אייזק ניוטון את חוקי המכניקה ואת חוק הכבידה האוניברסלי, הקובע שכל זוג מסות מושכות זו את זו על פי מכפלת המסות חלקי המרחק ביניהן בריבוע, הוא העלה את הבעיה הבאה: האם ניתן לקבוע במדויק את תנועת השמש, כדור-הארץ והירח תחת השפעת כוח הכבידה? אייזק ניוטון כתב פתרון מקורב של הבעיה, אולם לפני שנדון בפתרון שהציע ניוטון, נתחיל מדיון בבעיית שני הגופים.
תארו לכם שני גופים שביניהם פועל כוח כלשהו, לדוגמה הירח וכדור הארץ. האם ניתן למצוא פתרון מדויק שחוזה את תנועת גופים אלו? התשובה היא כן! בעיית שני הגופים ניתנת לפתרון מדויק במסגרת הפיזיקה הניוטונית והסיבה לכך היא אינטואיטיבית: הגודל החשוב בבעיה הוא המרחק בין שני הגופים. אם נדע לחשב אותו בכל רגע ורגע הרי שפתרנו את הבעיה. כלומר בעיית שני הגופים דומה בעצם לבעיית גוף אחד, המתאפיין במיקומו כפונקציה של הזמן.
בעיית שלושת הגופים היא בעיה מורכבת בהרבה, משום שקיימים שלושה מרחקים רלוונטיים בבעיה - המרחקים בין כל זוג גופים. כדי לדון בבעיה יש לרשום את חוקי ניוטון עבור כל מסה ולהתחשב בכך שקיימים גדלים שאינם משתנים במהלך התנועה, למשל האנרגיה הכוללת והתנע הכולל של הגופים. דיון מדוקדק בבעיה מראה שבסופו של דבר אפשר לפשט אותה, אולם נזדקק לפתרון שש משוואות דיפרנציאליות. כפי שנראה בהמשך, לבעיית שלושת הגופים אין פתרון מדויק.
לעיתים ניתן לפתור את הבעיה פתרון מקורב. ניוטון ידע שמסת הירח קטנה משמעותית ממסת השמש וקטנה גם ממסת כדור-הארץ. ניתן לפיכך לפתור בקירוב ראשון את בעיית שני הגופים הכבדים, קרי השמש וכדור-הארץ, ואחר-כך לדון בתנועת הירח סביב כדור-הארץ.
פיזיקאים ומתמטיקאים דגולים, בפרט לגרנז׳, אוילר ויעקובי, מצאו פתרונות לבעיית שלושת הגופים במקרים מיוחדים. אוילר הראה שאם מציבים שלוש מסות על קו ישר, הרי שניתן לחשב את תנועתן במדויק. הפתרון של אוילר הוא שהקו המחבר את שלוש המסות ינוע בתנועה מעגלית, כך שהמסות עצמן ינועו באליפסות. לגרנז׳ סיפק גם הוא פתרון מדויק ומעניין לבעיה כאשר הפעם המסות ניצבות תחילה בקודקודי משולש ואחר-כך הן נעות באליפסות [1].
בעיית שלושת הגופים המשיכה להטריד מדענים ואף מלכים! בשנת 1889, לרגל יום הולדתו השישים, הכריז אוסקר השני, מלך שבדיה שאהב מדע, כי ייתן פרס למי שיפתור את הבעיה. הזוכה בפרס היה המתמטיקאי אנרי פואנקרה שהצליח להוכיח כי לבעיה אין פתרון!
פואנקרה הראה שבבעיית שלושת הגופים קיים מה שנקרא בעגה המודרנית כאוס [2]. מה פירוש הדבר? כאוס היא התופעה שנקראת בשפה העממית ״אפקט משק כנפי הפרפר״: תנודה קלה שגורמת להפרעה גדולה. מתברר שאי-ודאות קטנה במיקום או במהירות של אחד משלושת הגופים גורם לכך שלא נדע את עתיד המערכת, בשל גידול אקספוננציאלי של אפקט קטנטן. ייתכן למשל ששלושת הגופים יחוגו סביב עצמם, כלומר יהיו במעין קשר זה עם זה לזמן מסוים, ואז אחד מהם יתנתק מהמערכת ויעזוב אותה כליל. מאחר שלעולם אין לדעת במדויק את המיקום ואת המהירות של גוף, בשל מגבלות המכשור ועקב עקרון אי-הוודאות של הייזנברג שלפיו אי הוודאות היא עקרונית ומהותית בכל מערכת, הרי שלעולם לא ניתן יהיה לדעת בוודאות את עתידם של שלושה גופים. הסרטון המצורף [3] מדגים את התופעה היטב.
בשנת 2020 חלה התפתחות מעניינת בנושא: פרופ׳ ברק קול מהאוניברסיטה העברית הציג פתרון סטטיסטי לבעיה [4]. מכיוון שאי אפשר לחזות במדויק את התנהגות המערכת, הציע פרופ׳ קול לוותר על כך ולהסתפק בחישוב הסיכוי לחוסר יציבות, כלומר לענות על השאלה: מה הסיכוי שאחד משלושת הגופים ייפלט מהמערכת. ברק קול מצא משוואה המחשבת את הסיכוי הזה.
בעיית שלושת הגופים הינה מרתקת ובעלת היסטוריה עשירה. אל תקחו ברצינות את מה שאתם רואים בנטפליקס.
עריכה: שיר רוזנבלום-מן
מקורות לקריאה נוספת:
[1] מאמר סקירה שהשתמשתי בו להכנת מאמר זה
[2] מאמר ב"מדע גדול, בקטנה" העוסק בכאוס
[3] סרטון המדגים כאוס בבעיית שלושת הגופים
פרופסור לפיזיקה תאורטית של חלקיקים אלמנטריים באוניברסיטת סוונסי. בעבודתו עוסק עדי בכרומודינמיקה קוונטית ובתורת המיתרים
