משפחה חשובה ומיוחדת של פונקציות אשר צצה לה במגוון בעיות פיזיקליות היא הפונקציות ההרמוניות. הפונקציות הללו קיבלו את שמן בזכות קשר לפונקציות הסינוס והקוסינוס, ומקורן במשוואה מיוחדת הנקראת משוואת לפלס. דרך משעשעת להמחיש מה זה פונקציה הרמונית היא באמצעות ״תשבץ הרמוני״ (Harmonic Square Lattice). תשבץ הרמוני כולל בתוכו מספרים המסודרים בתשבץ בצורה מיוחדת: הם מקיימים את תכונת הממוצע בכל משבצת פנימית, כלומר הערך בכל משבצת פנימית הוא הממוצע של שמונת שכניו, ואילו על ערכי המשבצות בקצוות התשבץ (שפת התשבץ), לא חל שום אילוץ. באיור להלן אפשר לראות כמה דוגמאות של תשבצים הרמוניים מהצורה 4×4.

בתשבץ הרמוני נתונים הערכים על שפת התשבץ בלבד (מה שמכונה תנאי שפה), ויש למצוא את כל הערכים הפנימיים כדי לפתור אותו. ניתן להראות שקיים פתרון יחיד לכל תשבץ הרמוני. כלומר לכל תנאי שפה אפשריים, יש פתרון והוא יחיד! הנה דוגמה לתשבץ כזה ופתרונו. 

אבל מה עושים עם תשבצים הרמוניים גדולים מאוד? פתרון אפשרי הוא לבנות מערכת משוואות גדולה ולפתור אותה, אבל זה לא יעיל. לכן מפתחים אלגוריתמים יעילים כדי לפתור אותם. בנוסף, הייצוג המספרי אינו מעשי תמיד לצורך חקירת הפונקציה. אם נביט בתשבץ 10000x10000 עם המון מספרים, קשה יהיה להבין משהו לגבי התנהגות הפונקציה ולתפוס מה קורה בכל הטבלה. הדרך המקובלת בתעשייה כדי להתמודד עם מורכבויות מסוג זה היא באמצעות שימוש בצבעים במקום במספרים - כך נוכל לקבל תמונה צבעונית שתאפשר להבין את ההתנהגות של הפונקציה בכל התחום (כל הטבלה). נניח שהערכים בתשבץ נעים בין 0 ל-1, מקובל לייחס צבע כחול לאפס, אדום ל-1 ולמפות את כל שאר המספרים לצבעים שביניהם על הספקטרום, עד שמתקבלת תמונה צבעונית שנקראת גם מפה תרמית (Thermal map). בעזרת התמונה נוכל לקבל רושם כללי על התשבץ ואף ללמוד על תכונותיו.

איך זה עוזר לנו בחיים האמיתים? הנה כמה דוגמאות לשימוש: באנימציה המפות התרמיות עוזרות להבין איפה קיים שינוי או עיוות בלתי רצוי. בחברות המייצרות שבבים נעזרים במפות תרמיות כדי למדוד טמפרטורה בכל נקודה על שטח השבב, זה עוזר לקבוע עמידות של חוטים לאורך זמן וגם לתכנן את צפיפות החיווט. באתרי אינטרנט משתמשים במפות תרמיות על מנת לזהות תבניות שימוש של גולשים במגוון תחומים כמו מדיה, גיימינג ועוד. אפילו בתחום הספורט אפשר לבנות מפות תרמיות של מיקום שחקנים לפי תפקידים ולהבין תבניות של מהלכים.

דניאל רבייב הוא מרצה בפקולטה למתמטיקה בטכניון.

עריכה: שיר רוזנבלום-מן