כמו גלגל בתוך גלגל - מדע גדול, בקטנה : מדע גדול, בקטנה

נתונה צורה הדומה לעיגול. כיצד נוכל לקבוע את מידת הדמיון באופן כמותי? לפתרון בעיה זו יש חשיבות רבה במתמטיקה, למשל בשיטה היסטורית לחישוב ערכו של פאי, בהנדסה, תעשייה, רפואה, מדעים ומחשבים (למשל לזיהוי תמונות). נספר על דרכים לפתרון הבעיה במקרים שונים. רצינו גם לפתח אפליקציה כדי להדגים לקוראינו את אחת הדרכים, אבל התעצלנו. עד שהגיע חבר חדש וסייע לנו. נספר כיצד.

“צייר לי עיגול”, ביקש הילד. שרבטתי משהו ביד חופשית, והוא עיקם את אפו. באיזו מידה דומה השרבוט לעיגול? לשנינו לא היה ממש אכפת, אבל לשאלה באיזו מידה צורת עצם כלשהו דומה לעיגול, יש חשיבות רבה במגוון תחומים. המדד המבטא את מידת דמיונו של עצם לעיגול נקרא עִיגוּלִיוּת (roundness) [1], והוא מספר בין 0 ל-1: אם צורתו של העצם היא עיגול מושלם הערך שווה ל-1, ואם היא שונה מאוד מעיגול הערך קרוב ל-0. כיצד הייתם מציעים למדוד עיגוליות?

ישנם שני סוגים של בעיות: בבעיות מסוג אחד נתונה נקודה שאמורה להיות מרכז המעגל, והשאלה היא באיזו מידה הצורה המקיפה אותה אכן דומה לעיגול. כשמסתכלים על צמיג מכונית, קל לראות את נקודת המרכז. אבל האם שפת הצמיג היא מעגל, או שחלילה האוויר יצא, הצמיג נראה כמו חצי פיתה, ולכן העיגוליות קטנה יותר? בבעיות מן הסוג השני נתונה צורה כלשהי אבל לא נתונה נקודת מרכז, כמו למשל בשרבוט הלא מוצלח שעשיתי. איך נקבע את מידת העיגוליות במקרה כזה?

נתחיל בסוג הראשון. הילד הניח גפרורים על השולחן וביקש: בוא נסדר אותם בצורת מעגל. אי אפשר ליצור מעגל מושלם מגפרורים, כמובן, אולם אם נשתמש בהרבה גפרורים ונחבר ביניהם ליצירת מצולע משוכלל, שבו כל הצלעות והזוויות שוות, הצורה שתתקבל תהיה די דומה למעגל. כיצד נמדוד את העיגוליות של המצולע?

מטעמי סימטריה, לכל מצולע משוכלל יש נקודת אמצע. נשרטט מעגל שמרכזו בנקודה זו, כך שייגע באמצע כל אחת מן הצלעות. למעגל זה, שנמצא בתוך המצולע, קוראים מעגל חסום. מאותה נקודה נוכל לשרטט גם מעגל חיצוני שייגע בכל אחד מן הקודקודים, והוא נקרא מעגל חוסם. קיבלנו שני מעגלים, חוסם וחסום, וביניהם כלוא המצולע. ככל שמספר צלעות המצולע יגדל, המצולע ייראה פחות 'שפיצי' ויותר מעגלי, ושני המעגלים יתקרבו זה לזה ולמצולע הכלוא ביניהם. נגדיר את העיגוליות כיחס בין רדיוס המעגל החסום לרדיוס המעגל החוסם. יחס זה קטן מ-1, ומתקרב ל-1 ככל שמספר הצלעות גדל.

למשל, עבור ריבוע שאורך צלעו שתי יחידות רדיוס המעגל החסום הוא 1 ורדיוס המעגל החוסם (= מחצית אלכסון הריבוע) שורש 2, ולכן מידת העיגוליות היא 1 חלקי שורש 2, בערך 0.7. הציון נראה נמוך, אז החלטנו לקחת שמונה גפרורים ולבנות מצולע משוכלל הקרוי מתומן, ובו מידת העיגולית עלתה ל-0.92. אכן, המצב השתפר. במצולע משוכלל בן 96 צלעות מידת העיגוליות היא 0.9995!

אגב, בשיטה זו הצליח ארכימדס, לפני יותר מאלפיים שנה, לחשב את היחס בין היקף המעגל לקוטרו (פאי). למרות שאז עדיין לא שלטו ברזי הטריגונומטריה המוכרת לנו, ארכימדס השתמש במצולע משוכלל בן 96 צלעות, ובעזרת הידע ההנדסי שהיה לו קבע שערכו של פאי בין 22/7 ל-223/71.

ניתן להכליל את השיטה, וההגדרה הסטנדרטית של עיגוליות היא היחס בין רדיוס המעגל הגדול ביותר שניתן להכניס לתוך הצורה (דהיינו מעגל חסום) לבין רדיוס המעגל הקטן ביותר שיקיף את כל הצורה (מעגל חוסם). על הגדרה זו מבוססים מכשירי מדידה מדויקים המשמשים בתעשייה לקביעת האיכות של גלגלים [3]. כשנתונה נקודת המרכז של גוף נבדק, נוכל לחברה לציר סיבוב של מנוע, לסובב אותו ולתלות מעליו מד מרחק מדויק, שיראה כיצד המרחק מהשפה לנקודת המרכז משתנה בעת הסיבוב. אם המעגל מושלם המרחק (רדיוס המעגל) יישאר קבוע, ואם לא – המכשיר יחשב את מידת העיגוליות כיחס בין המרחק המינימלי למרחק המקסימלי.

ואז הציע הילד: הבה נתחכם ונשים במכשיר לבדיקת מעגלים את הריבוע שצלעו שתי יחידות, במקום עיגול. אכן, במהלך סיבוב הריבוע סביב מרכזו (מפגש האלכסונים) המרחק נע בין 1 (כאשר הריבוע מקביל לרצפה) לשורש 2 (כשהזווית 45 מעלות), והיחס שהמכשיר חישב היה כ-0.7, כמו בחישוב התאורטי. מסקנה: ריבוע אינו יכול להתחזות למעגל (ראו איור). חידה לקוראינו: האם אפשר לתלות במכשיר עצם שאינו עיגול, ובכל זאת העיגוליות שהמכשיר ימדוד תהיה שווה ל-1?

עתה נעבור לבעיות מן הסוג השני: נדמיין שצילמנו עצם כלשהו, ואין לנו נקודה של אמצע. כיצד נעריך עד כמה צורתו של העצם דומה לעיגול? לבעיה זו נודעת חשיבות בתחום של זיהוי צורות באמצעות מחשב. למשל כשאנו בודקים דגימות דם, אחת הבדיקות שהמכשור הממוחשב עושה היא אם לכדוריות הדם צורת עיגול מושלם, או שצורתם די שונה מעיגול, מה שמעלה חשד למחלה. הבעיה כללית מאוד, מה שמקשה על ניתוח מתמטי, אולם המהנדסים מצאו דרך פשוטה להעריך את העיגוליות גם במקרים כאלו. לשם כך מעריכים את היקף הצורה על ידי ספירת הפיקסלים שעל ההיקף, וגם את שטחה – על ידי ספירת הפיקסלים שבתוכה. נניח שיש לנו עיגול דמיוני שהיקפו כהיקף הצורה, ומכאן נוכל לחשב את רדיוסו. נניח גם שיש לנו עיגול שני, ששטחו כשטח הצורה, ומכאן אפשר לחשב את רדיוסו. אם הצורה היא אכן עיגול שני הרדיוסים שווים, ואם לא – היחס בין הרדיוס השני לראשון הוא מדד לעיגוליות. אכן, שיטה פשוטה וחכמה.

רצינו להדגים לקוראינו את החישוב המתואר לעיל באמצעות אפליקציה, אך פיתוח כזה הוא מורכב למדי. ואז נזכרנו בחבר החדש שלנו, ChatGPT. פנינו אליו, והוא הסכים ללא היסוס ליצור עבורנו קוד Javascript שעושה את החישוב. מה שנותר לנו הוא ליצור את הממשק כראות עינינו [3].

כשחשבנו על מעגל חוסם ומעגל חסום, סיפרה לנו מורה שמעגל חסום מזכיר לה חבורת ילדים שנסגרת בפני ילדים אחרים, מפני שהם שונים. אולם אז נזכרנו בקטע משיר של אהוד מנור ומתי כספי:
"כמו גלגל בתוך גלגל / באופני הסתיו / כמו תלתל בתוך תלתל / ליבה בזרועותיו".
אכן, בתקופה זו אנו זקוקים לעיתים למעגל חוסם שיקיף אותנו בחיבוק.