אינסוף מתמטיקאים נכנסים לבר. הראשון מזמין כוס בירה, השנייה מזמינה חצי כוס בירה, השלישי מזמין רבע כוס בירה. הרביעי מתחיל להזמין, אבל הברמן עוצר אותו מיד ואומר: ״חבר׳ה, דעו את הגבולות שלכם״. הוא שם שתי כוסות בירה על הבר ומכריז: ''זה יספיק לכולכם''. ופה נגמרת הבדיחה, אבל רגע, למה דווקא שתי כוסות? מה המתמטיקה מאחורי הבדיחה?

אומנם לא נהוג לפרש בדיחות, אבל הפעם נחרוג ממנהגנו. הבדיחה מייצגת למעשה מקרה של סכום סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת. וואוו, יש כאן הרבה מילים מפחידות. בואו נפשט אותן.

ראשית, נסביר מהי בכלל סדרה הנדסית [1]. מדובר בסדרה של מספרים שבה כל מספר מתקבל מהכפלת המספר הקודם לו במקדם קבוע, המכונה מנה (ניסוח אחר: המנה של כל שני איברים סמוכים בסדרה היא קבועה). לדוגמה: 1, 2, 4, 8, 16, 32 מהווים סדרה הנדסית בת שישה איברים, שבה האיבר הראשון הוא 1 והמנה היא 2. דוגמאות מהחיים לסדרות הנדסיות: הלוואה בריבית קבועה שנלקחת מן הבנק, גידול של אוכלוסיית חיידקים בבית גידול מבודד, וכמובן ''חוק מור'', שחזה כי צפיפות הטרנזיסטורים על גבי יחידת שטח של מעבד תוכפל מדי תקופה [2].

סדרה הנדסית מכונה סדרה אינסופית אם היא נמשכת ללא סוף, למשל, 1, 2, 4, 8, 16...
בסדרה שבבדיחה (האיבר הראשון 1, המנה היא 0.5 ובסדרה אינסוף איברים), מכיוון שהמנה היא מספר בין 0 ל-1 (כל מתמטיקאי הזמין חצי מכמות הבירה שהזמין זה שלפניו), הכמות הכוללת של בירה שהברמן יצטרך להגיש (סכום הסדרה) שווה למספר סופי של כוסות (ערך קבוע), שניתן לחשב באמצעות נוסחה מיוחדת. מפתיע.

כלומר, איך בירה לאינסוף אנשים מסתכמת לכמות סופית? נסביר את התוצאה בשתי דרכים: דרך אינטואיטיבית ודרך מתמטית יותר.
בדרך האינטואיטיבית, אנו רואים שהבחור שהזמין ראשון השפיע במידה הרבה ביותר על הכמות הכוללת (מכיוון שהוא הזמין את הכמות הגדולה ביותר). אחר כך הכמות הולכת וקטנה. במקרה שלנו, האיבר הראשון הוא 1, ואנחנו נוסיף ½,  אחר כך עוד ¼ וכולי, כמויות שהולכות וקטנות. כלומר, מצד אחד אנחנו סוכמים יותר ויותר איברים של הסדרה, ומצד שני הכמויות המתווספות הולכות ונעשות קטנות יותר ויותר. הטענה שלנו היא שככל שטור המזמינים יתקדם, הכמות תלך ותתקרב לשתי כוסות, אבל לא יותר מכך.
חשוב לציין כי הכמות הכוללת אכן תגיע לכדי ערך סופי רק אם הקצב שבו הכמויות המתווספות הולכות וקטנות מהיר מספיק. במקרה שלנו התוספת קטנה בצורה מעריכית, וזה "מהיר מספיק"; במקרה שהקצב אינו מהיר מספיק, הסכום לא יגיע לערך סופי. ראו לדוגמה את המקרה של סדרה הרמונית [3].

נמשיך לדמיין כוסות בירה: הברמן מחליט לחסוך בכוסות, ובמקום לתת כוס זעירה לכל אחד מהאנשים, החל מהכוס השנייה הוא פשוט מוסיף עוד ועוד בירה לאותה כוס. אז מה קורה שם? תחילה הוא מוזג בירה וממלא חצי מהכוס (בהתאם להזמנת המתמטיקאית), וחצי כוס נשארת ריקה בשלב זה. בשלב הבא הוא מוזג עוד רבע כוס (כלומר ממלא חצי מהחלק שהיה ריק), ומביא לכך שכעת שלושה רבעים של הכוס מלאים בירה, ורבע כוס עדיין ריקה. הברמן ממשיך למזוג וממלא חצי מתוך הרבע הריק, כלומר שמינית, וכן הלאה. בכל שלב מתווספת חצי מהכמות החסרה למילוי הכוס, כלומר הכמות הכוללת הולכת ומתקרבת ל-2, אבל בשום שלב הבירה לא תגלוש אל מחוץ לכוס (בכל זאת, מדובר בברמן מיומן מאד). לבסוף, יחד עם הכוס הראשונה המלאה, יהיו רק שתי כוסות בירה על הבר.
ואז עולה שאלה מטרידה אף יותר: איך  יצליחו המתמטיקאים לחלק ביניהם את הבירה ולשתות כל אחד את הכמות שהזמין? זו שאלה לפוסט אחר.

נעבור לדרך ההסבר השנייה. ראשית, חשוב להבין שההערה של הברמן על הגבולות לא הייתה מקרית כלל. גבול הוא מושג חשוב במתמטיקה ומדעי המחשב. רוב תלמידי התיכון בישראל נתקלים בגבול (ומקללים אותו לא מעט) בחשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, שם הגבול מתאר את התנהגות הפונקציה כשהיא שואפת לאינסוף (אסימפטוטה אופקית). גבול של סדרה מתאר איך היא תתנהג בטווח ארוך. כלומר, כאשר אנו מדברים על גבול של סדרה, ננסה להבין האם כאשר n הולך וגדל, האיבר ה-n בסדרה הולך ומתקרב לערך כלשהו. לדוגמה, בסדרה שבה ערכו של האיבר ה-n הוא i1/n, ערכו של האיבר ה-n בסדרה הולך ומתקרב לאפס כאשר n מתקרב לאינסוף. במקרה כזה נאמר שהגבול הסדרה שווה ל-0, או שהסדרה מתכנסת ל-0.

במקרה שלנו, אנו טוענים כי אם נחבר אינסוף איברים של סדרה הנדסית שהמנה שלה היא שבר (מספר בין 1- ל-1), נקבל מספר סופי, שהוא  סכום הסדרה. מכיוון שאנו יודעים שסדרה הנדסית מתכנסת היא מקרה פרטי של סדרה הנדסית, ניעזר בנוסחת הסכום של סדרה הנדסית כללית עבור סכום של n איברים ראשונים:

q – מנת הסדרה; n – מספר האיברים בסדרה; a – האיבר הראשון בסדרה

במקרה של סדרה מתכנסת, כאשר q בין 0 ל-1, הביטוי q^(n+1) ישאף לאפס (נסו לראות מה קורה אם נעלה ½ או ⅓, לדוגמה, בחזקה הולכת וגדלה). במקרה כזה הביטוי שיתקבל עבור הסכום יהיה:

וזהו בדיוק החישוב שהברמן עשה:

תוצאת החישוב היא, אם כן, שתי כוסות בירה.
או שאולי הברמנית שפגשה את החבורה במשמרת הקודמת גילתה לו מה התוצאה. לרוויה!

עריכה: סמדר רבן

מקורות והרחבות

[1] סדרה הנדסית

[2] חוק מור

[3] סדרה הרמונית