כולם יודעים מה ההבדל בין פיל לפסנתר. אבל מה משותף בין פיל לגורד שחקים? למה בעל החיים הגדול ביותר בכל הזמנים הוא לווייתן שחי במים? ומה הקשר לבחירת פיצות? אז נא להכיר: חוק ה"בריבוע-בשלישית", או הריבוע המעוקב. מדובר בחוק שתואר לראשונה במאה ה-17 ונוגע למגוון תחומים מדעיים: ביולוגיה, זואולוגיה, הנדסה ועוד. מה אומר החוק? איפה אנו נתקלים בו בחיי היום יום? ולמה לא צריך לחשוש מעכבישים ענקיים שישתלטו על העולם?

חוק הריבוע בשלישית הוא עיקרון מתמטי, המתאר את הקשר שבין הנפח לשטח הפנים ככל שהצורה גדלה או קטנה. נזכיר ששטח הפנים (או שטח המעטפת) הוא השטח שבא במגע עם הסביבה. העיקרון תואר לראשונה בשנת 1638 על ידי גלילאו גליליי בספרו ''הרצאות והוכחות מתמטיות סביב שני מדעים חדשים" [1].

בפשטות, החוק טוען שכאשר גוף גדל, הנפח שלו גדל מהר יותר משטח הפנים. נסתכל לדוגמה על קובייה שאורך כל פאה שלה 3 מטרים. שטח הפנים יתקבל מחיבור השטח של שש הפאות (3²*6 מטר בריבוע). הנפח יתקבל מהכפלת השטח בגובה (3²*3 או 3³, כלומר אורך הצלע בשלישית). מה יקרה אם נגדיל את אורך פאת הקובייה פי 2? אם נציב את האורך החדש באותן משוואות, נראה כי השינוי מתבטא בשטח הפנים בצורה ריבועית ((2*3)²), ובנפח בצורה מעוקבת ((2*3)³). במילים אחרות, כשצלע גדלה פי 2, שטח הפנים גדל פי 4 והנפח גדל פי 8 [2]. 

איך העיקרון מתבטא בעולם סביבנו?

נתחיל מדוגמה פשוטה מתחום המזון. בדיוק כפי שהחוק תקף ליחס שבין שטח לנפח, הוא תקף גם ליחס שבין אורך לשטח. נניח שאתם מתלבטים בפיצרייה אם לבחור פיצה גדולה בקוטר של 20 ס"מ או שתי פיצות קטנות בקוטר של 10 ס"מ כל אחת. אם נניח שכל הפיצות בעובי זהה, עדיף לבחור את הפיצה הגדולה, כי השטח שלה יהיה גדול יותר (100π לעומת 50π). אפשר לבדוק זאת בקלות על ידי הצבה בנוסחת השטח של המעגל, π*r², ולראות שהתלות ברדיוס ריבועית: אם נקטין את הרדיוס בחצי, השטח יקטן בהרבה יותר מפי 2.

דוגמה הפוכה מתחום הביולוגיה: גוף האדם קולט חומרים מהסביבה ופולט אותם דרך שטח הפנים (בדרך כלל העור), אך עיבוד החומרים ופיזורם בגוף נעשה בתוך הנפח. נאדיות הריאה למשל, הן רבות מאוד וקטנות מאוד, וכך מאפשרות מעבר גזים רבים דרכן (יותר אוויר ביחידת זמן). בזוג ריאות של אדם יש כ-300 מיליון נאדיות. אם היינו מחשבים את שטחן, היינו מקבלים שטח כולל של כ-80-70 מטרים מרובעים - שטח דירה סבירה בפתח תקווה או שש דירות מפוצלות בתל אביב. זה ממחיש איך שימוש בצורות קטנות רבות מאפשר שטח פנים גדול מאוד בנפח קטן [3].

דוגמה נוספת מתחום הזואולוגיה: חוק הריבוע בשלישית מסביר לנו גם מדוע אורגניזם מתנהל באופן מסוים מבחינה אנרגטית. זה עניין של יעילות: לבעלי חיים קטנים יש שטח פנים גדול ביחס לנפח גופם. הם מאבדים חום רב לסביבה ושמירה על חום גוף קבוע היא אתגר עבורם. לעומת זאת, לבעלי חיים גדולים יש שטח פנים קטן יחסית לנפח גופם. האתגר שלהם הוא דווקא צינון הגוף. הטבע "פותר" את הבעיה על ידי הקטנת קצב חילוף החומרים שלהם, ובכך הם יוצרים פחות חום שהם צריכים לאבד. פתרון אחר יכול לבוא בדמות איבר בעל שטח פנים גדול, כמו האוזניים של הפיל גדול הממדים, שבהן כלי דם רבים. האוזן למעשה מתפקדת כמו וסת חום שמקרר את הדם הזורם בכלי הדם. כדי להגדיל את אפקט הקירור הפיל יכול גם לנפנף באוזניו (רק לא יותר מדי, כי אז הוא עלול לעוף בטעות).

אפשר ללמוד על הנושא גם מההבדלים בין אוזני ארנבות שונות. לארנבות שחיות באזורים קרים יש אוזניים קצרות יותר מאשר לארנבות החיות באזורים חמים. אוזניים קצרות מאבדות פחות חום כי יש להן שטח פנים קטן יותר, ובצפון הקר זה יתרון. לעומת זאת, לארנבת החיה במדבר החם מתאימות יותר אוזניים גדולות בעלות שטח פנים גדול, שיעזרו לה לאבד חום ביעילות ולשמור שגופה לא יתחמם יתר על המידה. נוסף על מעבר החום, גם לשינוי המסה יש השפעה. אם בעל חיים גדל משמעותית, חוזק השרירים היחסי שלו מופחת מאוד, שכן חתך השרירים גדל בריבוע, בעוד שהמסה שלו גדלה בשלישית. אגב, זה מסביר מדוע בעלי החיים הגדולים ביותר על פני כדור הארץ חיים במים. הציפה של המים מפחיתה את השפעות כוח הכבידה, ולכן יצורי ים יכולים לגדול לממדי ענק ללא מבנים שרירים ושלדיים שיצורי יבשה בגודל דומה היו צריכים בשביל זה.

זוכרים את סרטי האימה משנות ה-50, על מיני חרקים שהופכים ענקיים, תוקפים את האנושות ומשמידים ערים (סרטון להמחשה לעיל)? אין סיבה לחשוש. ניקח עכביש לדוגמה: הרגליים שלו דקות מאוד. אם העכביש יגדל פי 10, הרגל שלו תתעבה פי 10 ושטח החתך שלה יגדל פי 100, אבל המשקל שלו יגדל פי 1,000. מכיוון ששטח החתך של הרגל יצטרך לשאת במשקל, במציאות הוא יקרוס עוד לפני שיספיק להשתלט אפילו על יחידת דיור מפוצלת אחת. 

דוגמה אחרונה מתחום ההנדסה: אם נגדיל אובייקט כלשהו, תוך שמירה על אותה הצפיפות, לאובייקט תהיה פחות יכולת להתנגד ללחץ והוא יתמוטט בזמן הפעלת כוחות. מסיבה זו לא נוכל להשתמש לבניית גורד שחקים באותם חומרים ושיטות של בניית בית פרטי, ולכן גם קיימות מגבלות הנדסיות על גובה הבניין. אם אתם מתכננים להמריא לשחקים, לכל כלי שתבחרו יש יתרונות וחסרונות בחסות החוק. מנועים מסוימים של רקטות למשל "סובלים" מחוק הריבוע בשלישית בגלל מעבר החום: הנפח של כלי גדול יותר יגדל מהר יותר משטח הפנים, כלומר הוא יתחמם מדי ולא יצליח לפלוט מספיק חום [4]. לעומת זאת, כדור פורח יכול להיות רעיון טוב. ככל שרדיוס הכדור גדול יותר, "העלות" בשטח הפנים גדלה באופן בריבוע, אך העילוי - התלוי בנפח - גדל בשלישית.

אז פגשנו עיקרון מתמטי שמשפיע על חיינו באופן יום יומי בכל התחומים, והחדשות הכי טובות - אפשר להפסיק לפחד מעכבישי ענק שיתקפו את פתח תקווה.

עריכה: שיר רוזנבלום-מן

מקורות לקריאה נוספת:

[1] הספר של גלילאו, Two New Sciences 

[2] חוק ה"בריבוע-בשלישית" 

[3] נאדיות ריאה 

[4] Expander cycle rocket engines