פיזיקה תאורטית היא דרך לתיאור הטבע באמצעות מודלים מתמטיים. בדרך כלל קשה למצוא תיאור אמין של הטבע. עם זאת, ישנם מקרים שבהם מערכת פיזיקלית מסוימת ניתנת לתיאור בשני אופנים (או יותר), כלומר, בשני מודלים שונים. אנו הפיזיקאים מכנים זאת ״דואליוּת״, שכן אף ששני התיאורים עשויים להיות שונים מאוד זה מזה, התוצאות הפיזיקליות המתקבלות זהות. מדוע אם כן אנו מתלהבים מדואליוּת?

אחת הדואליות הראשונות שהתגלו באופן תיאורטי היא בתורה האלקטרומגנטית. בשלהי המאה ה-19 ניסח הפיזיקאי ג'יימס קלרק מקסוול את חוקי התורה האלקטרומגנטית. ארבע המשוואות, המכונות משוואות מקסוול, מתארות את השדות החשמליים והמגנטיים בנוכחות מטענים וזרמים חשמליים, כלומר הן מספרות לנו מה קורה במרחב ובזמן כאשר מציבים בו מטענים חשמליים נייחים או נעים. בעבר חשבו שחשמל ומגנטיות הן תופעות שונות של הטבע, אבל משוואות מקסוול מלמדות אותנו דבר-מה מעניין: אם נתעלם לרגע ממטענים חשמליים, המשוואות נראות מאוד סימטריות תחת החלפה של שדות חשמליים בשדות מגנטיים. אם בכל מקום שבו כתוב במשוואות שדה חשמלי נכתוב שדה מגנטי, ובכל מקום שבו כתוב שדה מגנטי נכתוב מינוס שדה חשמלי, נקבל את אותו הדבר! מעניין, לא? אבל כיצד זה עוזר לנו?

ובכן, לפעמים הרבה יותר קל לחשב גדלים מסוימים על ידי שימוש בתיאור אחד של תופעה פיזיקלית מאשר באחר. יתר על כן, לפעמים אפשר לגלות דברים מפתיעים על ידי השוואה של שני תיאורים דואליים של אותה התופעה. דוגמה חשובה למקרה השני היא ״מודל איזינג דו-ממדי״ למגנטיות [1]. נניח שיש לנו אוסף של מגנטים קטנטנים, הפרוסים על משטח במרחקים שווים זה מזה. פיזור זה נקרא סריג. נניח שאנחנו רוצים לחשב את המגנטיות הכוללת, הנובעת מכך שהמגנטים הקטנטנים מקיימים פעולת גומלין עם שכניהם בסריג. אפשר לחשוב על שתי התנהגויות של המערכת: או שכל המגנטים הקטנטנים יסתדרו באותו כיוון, כלומר, ה״קוטב הצפוני״ של כולם יהיה מכוון לאותו כיוון במרחב. מצב שכזה נקרא ״סדר״. המצב האחר הוא ״אי-סדר״, שבו הקטבים במגנטים הקטנטנים יצביעו בכיוונים אקראיים.

 אז מה קורה בהקשר לשינויי טמפרטורה? אם נעלה את הטמפרטורה של המגנטים הקטנטנים, המערכת תהיה כל-כך לא מסודרת, עם מגנטים מבולבלים שמצביעים בכל מיני כיוונים אקראיים, עד שהמגנטיות הכוללת תתאפס. לעומת זאת, בטמפרטורות נמוכות אנחנו מצפים ל"סדר" במערכת ומגנטיות כוללת שאינה אפס. ראו איור:

איור: נעה זילברמן

 כפי שנראה, בעזרת דואליות ניתן לחשב באיזו טמפרטורה תעבור המערכת ממצב של ״סדר״ למצב של ״אי-סדר״ (כאשר מדובר בבני אדם, אגב, הטמפרטורה היא בערך 40 מעלות צלזיוס, כי מעליה אנשים מתחרפנים).

אז מהי הדואליות הרלוונטית? אפשר לתאר את המערכת בצורה קלה יחסית כאשר הטמפרטורה נמוכה. כמו כן, אפשר לתאר את המערכת המדוברת גם בטמפרטורה גבוהה. מתברר שקיימת טרנספורמציה, היא הדואליות, שמקשרת את התיאור בטמפרטורות גבוהות לתיאור בטמפרטורות נמוכות. כיצד זה מועיל? אם אפשר להסתמך על שני התיאורים בטמפרטורת ביניים, אפשר לשאול באיזו טמפרטורה שני התיאורים נעשים זהים. באופן כזה גילו הפיזיקאים קריימרס וואנייאר [2] בשנת 1941 את הטמפרטורה הקריטית, שבה מודל איזינג עובר ממצב של ״סדר״ למצב ״אי-סדר״, כלומר טמפרטורה קריטית שבה המגנטיות הכוללת של המערכת נעלמת. את התופעה הזאת, המכונה מעבר פאזה, קשה בדרך כלל לחשב בצורה מדויקת. משמעות הדבר היא שדואליות היא כלי יקר ערך כאשר מעוניינים לחשב משהו קשה.

מאז התגלו דואליות שונות ומעניינות בתחום של פיזיקת מצב-מעובה, בפיזיקה תאורטית של חלקיקים וכן בתורת המיתרים.

הדואליות המרשימה מכול התגלתה בשנת 1999 על ידי חואן מלדסנה. היא נקראת ״הולוגרפיה״ וכוללת שני תיאורים שונים של תיאוריות חלקיקים. האחד הוא התיאור המוכר בעזרת חלקיקים הנקראים גלואונים וקוורקים; והתיאור הדואלי הוא בעזרת תורת כבידה, הדומה לתורת היחסות הכללית אך כוללת חמישה ממדים. בעזרת התורה הדואלית אפשר להעריך תכונות שונות של חלקיקים שלא ניתן להעריך בשום דרך אחרת. בעבר פרסמנו פוסט שעסק בנושא זה [3].

איור המחשה: נעה זילברמן

עריכה: ינון קחטן

הערות והרחבות:

[1] two-dimensional square lattice Ising model

[2] Kramers–Wannier duality

[3] תורת המיתרים – היקום כהולוגרמה