תהיתם פעם מדוע מסלולי טיסה אינם נראים כמו קו ישר על המפה? התשובה קשורה בכך שמפה היא ניסיון (שנידון לכישלון) לשטח את כדור הארץ. ומה הקשר בין זה לבין שאלת כיוון התפילה?

בין כל שתי נקודות יש אינסוף מסלולים. מתוך כל המסלולים הללו, מהו המסלול הקצר ביותר? 

"קו ישר!" אתם ודאי עונים מיד. אכן, אם שתי הנקודות נמצאות על דף, ברור שאפשר למתוח ביניהן קו ישר והוא יהיה המסלול הקצר ביותר. גם אם ניקח את הדף עם הקו המשורטט בין שתי הנקודות ונסגור אותו לצורת גליל, המסלול הקצר ביותר ישאר אותו קו ישר (אלא אם אחרי שהדבקנו את הדף לגליל נוצר מסלול קצר יותר בהמשך הקו שציירנו). אבל אולי יצא לכם להתבונן במפת הטיסה שמוקרנת במטוס בדרך לחופשה ולתהות מדוע המסלול אינו נראה כמו קו ישר אלא יותר כמו קשת. (מסלול הטיסה מתל אביב ללוס אנג'לס, למשל, עובר ב… גרינלנד! ראו איור.) הרי חברות התעופה ודאי לא מעוניינות בבזבוז דלק יקר, ויעדיפו את המסלול הקצר ביותר. אז מה העניין?

המסלול הקצר ביותר בין תל אביב ללוס אנג'לס הוא דווקא האדום, שנראה מעוקל (ועובר בגרינלנד!), ולא הירוק, שנראה כקו ישר המחבר בין הערים על המפה. התמונה נוצרה בעזרת האתר [4].

אמנם מפות הן שטוחות, אבל כדור הארץ הוא, ובכן, כדור. כדי להמחיש שכדור איננו שטוח (לעומת הגליל, שניתן לחתוך אותו לאורכו ואז לשטח אותו), נסו לקלף תפוז ולשטח את הקליפה על השולחן. מהר מאוד יווצרו קרעים ותיווכחו שזה לא אפשרי. 

אפשר לחשוב על זה גם כך: דמיינו שיש לכם נייר עטיפה ומתנה לארוז. לעטוף ספר זה פשוט, לעטוף קופסת פרינגלס זה גם די פשוט, אבל לעטוף כדורגל… לא יצא הכי אסתטי. כמו כן, תצטרכו נייר עטיפה בשטח גדול יותר משטח הכדור המקורי, כי יהיו הרבה כיווצים וחפיפות. 

הקרעים במקרה של קליפת התפוז והחפיפות במקרה של עטיפת הכדורגל הם ביטוי לעיוות המרחקים המובנה בניסיון לשטח את הכדור. מכאן שהגאומטריה המתארת את הכדור אינה מתאימה לגאומטריה השטוחה (היא הגאומטריה האוקלידית שלמדנו בתיכון). סכום זוויות במשולש 180 מעלות? לא על פני כדור. קווים מקבילים אינם נפגשים? כאן דווקא כן! זה לא ששיקרו לכם, אלא פשוט - כל מה שלמדתם היה במישור, ואילו על משטח כמו כדור החוקים שונים. [1,2]

לכן, כל מפה - שהיא ניסיון להשיג תצוגה שטוחה של כדור הארץ - תהיה מעוותת ולא תציג מרחקים בצורה נאמנה למציאות (ראו איור) [3].

איור להמחשת עיוותי המרחקים במפות. באתר [3] תוכלו לשחק על גבי מפת העולם עם גודלן האמיתי של מדינות. איירה: נעה זילברמן

ובכן, נראה שלא כדאי להסתמך על מפות במדידת מרחקים על פני הגלובוס, מפני שקו ישר על המפה אינו המסלול הקצר ביותר על פני הכדור שהיא מייצגת.

מתברר שעל פני כדור, המסלול הקצר ביותר בין שתי נקודות הוא קשת מתוך "מעגל גדול". בפשטות, "מעגל גדול" הוא מעגל שחוצה את הכדור לשני חלקים שווים. למשל, כל קווי האורך הם מעגלים גדולים. גם קו המשווה הוא מעגל גדול. קווי הרוחב האחרים, לעומת זאת, אינם מעגלים גדולים (ראו איור). בין כל שתי נקודות על הכדור ניתן להעביר מעגל גדול, והמסלול הקצר ביניהן יהיה קשת מתוך המעגל הגדול העובר דרכן. במובן זה, מעגל גדול הוא הכללה של "קו ישר" על פני הכדור - המסלול הקצר ביותר בין שתי נקודות. בכל מרחב, מסלול כזה, שאורכו הוא הקצר ביותר בין שתי נקודות, נקרא "גאודזה". כמו שכבר הזכרנו, גאודזות על דף נייר הן פשוט קווים ישרים, וגאודזות על פני כדור הן קשתות מתוך מעגלים גדולים.

מימין: מעגל גדול הוא מעגל המחלק את הכדור לשני חצאים שווים. כל קו אורך, וכן קו המשווה, הם דוגמאות למעגלים גדולים. משמאל: קו רוחב (שאינו קו המשווה) אינו מעגל גדול. איירה: נעה זילברמן

הבה נתבונן שוב במסלולי הטיסה מהאיור הקודם, אבל הפעם על גבי הגלובוס (ראו איור):

כשהבטנו במסלול הטיסה על גבי המפה זה נראה מופרך, אבל במבט על הגלובוס זה כבר פחות מפתיע: הדרך הקצרה ביותר מתל אביב ללוס אנג'לס באמת עוברת בגרינלנד (המסלול האדום). מסלול זה הוא חלק ממעגל גדול המחבר את נקודת היציאה והסיום. המסלול הירוק, שבמפה נראה כקו ישר, אינו חלק ממעגל גדול ועל כן הוא ארוך יותר מהמסלול האדום. התמונה נוצרה בעזרת האתר [4].

עד כאן הבנו מהן גאודזות, מהו המסלול הקצר ביותר בין נקודות על פני כדור, ומדוע מסלולי טיסה אינם נראים כקווים ישרים על מפות. אבל מה עם תפילות? יהודים מתפללים לכיוון ירושלים, מוסלמים לכיוון מכה. עולה הסוגיה: לאיזה כיוון על המתפללים הפזורים בעולם לפנות בעת התפילה? ראינו שהמסלול הקצר ביותר בדרך כלל אינו מתלכד עם קו ישר על המפה. האם תפילות נעות במסלול הקצר ביותר, או שהן שומרות על כיוון קבוע ביחס למצפן?

בעוד ביהדות אין מוסכמה חד משמעית [5], באיסלאם מעדיפים את הנתיב המהיר, והתפילות נעות במסלול הקצר ביותר, שכבר ראינו שהוא אינו קו ישר על המפה אלא קשת מתוך מעגל גדול. אל-ח'לילי, מלומד בן המאה ה-14 שישב בדמשק, יצר טבלאות מפורטות שנותנות את כיוון התפילה לפי מיקום המתפלל (ראו תמונה).

"הקיבלה", טבלת כיווני תפילה מאת אל-ח'לילי, דמשק, המאה ה-14. מקור: ויקיפדיה הערבית

כך יוצא שבעוד מכה נמצאת דרום-מזרחית מניו יורק, מוסלמי בניו יורק יתפלל דווקא צפון-מזרחה (בכיוון נורבגיה), כלומר בכיוון המשיק לגאודזה המחברת את ניו יורק ומכה (ראו איור).

אז אם בטיסה הבאה שלכם לניו יורק תטוסו במסלול שנראה קשתי ולא ישר, ובהגיעכם תיתקלו במסגד שפונה צפון-מזרחה, תדעו מדוע.

מוסלמי בניו יורק יתפלל בכיוון המסלול הקצר ביותר שמחבר אותו עם מכה, כלומר צפון-מזרחה (בכיוון החץ הירוק), על אף שמכה נמצאת דרום-מזרחית ממנו (בכיוון החץ הצהוב). הקו המקווקו מייצג חלק ממעגל גדול המחבר את ניו יורק עם מכה, הוא המסלול הקצר ביותר בין שתי הערים. הקו הרציף הוא פשוט קו ישר על מפה, כלומר הקו המתקבל אם נעקוב אחר כיוון קבוע במצפן. איירה: נעה זילברמן

איורים: נעה זילברמן

עריכה: ינון קחטן

למקורות וקריאה נוספת:

[1] על גאומטריה לא-אוקלידית ותורת היחסות הכללית ב"מדע גדול, בקטנה"

[2] על גאומטריה היפרבולית, דוגמא נוספת לגאומטריה לא-אוקלידית, ב"מדע גדול, בקטנה"

[3] The True Size Of…, אתר בו תוכלו לגרור מדינות על המפה ולראות את גודלן האמיתי

[4] Great Circle Mapper, אתר בו תוכלו לצייר מסלולי טיסה על המפה ועל הגלובוס

[5] סקירה היסטורית ומדעית של כיווני התפילה בדתות השונות