חובבי מתמטיקה מוצאים את השימוש בה בכל מקום, אפילו בסיפורי ילדים. לפיכך תהינו, בהשראת סיפור ילדים ידוע, כיצד ניתן לאתר את המיקום והזווית שבהם צולמה תמונה ישנה, כדי שנוכל לצלם משם תמונה חדשה?

אהרן, גיבור סיפור הילדים הידוע "אהרן והעיפרון הסגול" [1] החליט לטייל לאור הירח עם עֶפרונו הסגול, עיפרון שבכוחו לברוא ולשנות את העולם. אהרן מטייל עם עפרונו, מצייר שביל ואז יורד ממנו, מצייר יער אבל רק עם עץ תפוחים אחד, כדי שלא ילך בו לאיבוד, מצייר דרקון מפחיד שישמור על התפוחים ואז בורח ממנו, ידו הרועדת מציירת גלי אוקיינוס ששוטפים אותו, ועוד ועוד, והירח מלווה אותו כל העת. בהמשך מבקש אהרן לחזור אל חדרו. הוא מצייר בניינים עם הרבה חלונות, אולם לא מוצא את חלון חדרו. לבסוף אהרן נזכר כי חלונו נמצא בלילות ירח תמיד סביב הירח, כמו מסגרת. ואז הוא מצייר בעפרונו חלון סביב הירח ומוצא את עצמו סוף סוף במיטתו, בחדרו.

ספר מקסים זה זכה להרבה ניתוחים ספרותיים, במיוחד בסיום היצירתי - סופו של מסע הגיבור, שבו פתר לבדו את בעייתו. הפרשנויות שניתנו לסיפור נותנות השראה, אולם גם הסקרנות המתמטית שלנו התעוררה לבעיה מעניינת, אף שאינה קשורה במישרין לספר: האם ניתן לאתר, מתמונה שנשמרה בזיכרוננו, או מתמונה ישנה באלבום המשפחתי, מאיזו נקודה היא צולמה? בעיה כזאת הטרידה את מנוחתם של שני מתמטיקאים מבוסטון: הם התבוננו בתמונה של בניין העירייה של מסצ'וסטס, שצולמה בערך ב-1860, וביקשו לאתר מהיכן היא צולמה, כדי לצלם תמונה עדכנית [2]. לעיתים אין לבעיה זאת פתרון. למשל, אם שמרתם באלבום תמונה שמכילה רק נקודה אחת על רקע שחור, לא תוכלו לאתר מהיכן צולמה. אולם לפעמים, כשהתמונה מכילה מידע גיאומטרי עשיר, אפשר למצוא פתרון מקורב. 

התמונות הנקלטות בעדשת מצלמה, כמו גם התמונות שהעין שלנו רואה, הן דו-ממדיות, אולם הן מכילות מידע מעולם התלת ממד, דרך פרספקטיבה. למשל, אנו רגילים לכך שעצמים רחוקים נראים קטנים, כמו אדני הרכבת, הנראים כמתקצרים כשמביטים למרחק, לאורך המסילה. במשך מאות שנים, כשלא היו עדיין מצלמות, תופעה זו בילבלה את הציירים, שלא הבינו ולא הצליחו לצייר תוך שימוש בפרספקטיבה. פריצת הדרך חלה בתחילת הרנסנס, כאשר ציירים ביקשו לצייר ציורים שדומים למה שנראה לעין, וחוקרי התקופה מצאו שיטות לדַמות פרספקטיבה [3]. בעקבות ההצלחה פותחה גאומטריה חדשה: "גאומטריה פרויקטיבית", ובה קווים שהם מקבילים בתלת ממד, כמו פסי מסילת הרכבת, נפגשים במישור בנקודה שניתן לה שם נאה בעברית: "נקודת מגוז" [4] (Vanishing Point).

נניח שברשותנו צילום ישן של בית, למשל בית העירייה של מסצ'וסטס. במרכז התמונה רואים את חזית הבניין ובצדדים רואים את הנוף שמסביב. בעת הצילום, ישר המאונך לעדשה, או למישור הצילום (דהיינו: כיוון הצילום), פוגש את הקיר בחזית בזווית כלשהי, ואותה אנו מחפשים. אם רואים בתמונה רק את הקיר שבחזית נסיק שזווית זו היא 90 מעלות והקיר מקביל למישור הצילום. אולם, אם התמונה מכילה גם חלק מקיר צדדי, למשל זה שבצד שמאל, נסיק שהזווית היתה קטנה מ-90 מעלות. בכמה? 

נדביק את התמונה לבריסטול גדול ונבקש מאהרן לשרטט בעפרונו הסגול קו ישר בצד שמאל, שממשיך את הקו של תקרת הקיר על הבריסטול, ועוד קו שממשיך את התחתית של קיר זה. נגלה שהקווים הללו אינם מקבילים, אלא נחתכים בנקודה, "נקודת המגוז". בסיפור שלנו השרטוט בעיפרון הסגול דווקא מקטין, אבל אל פחד, אהרן! אמנם התקרה והרצפה מתלכדים על הבריסטול, אבל זה רק בשרטוט, הקיר לא באמת התמוטט... כעת נבקש מאהרן לחזור על התהליך עם הקיר שבחזית: להמשיך ימינה את קו התקרה וקו הרצפה עד שהם ייפגשו בנקודת מגוז נוספת. קיבלנו שרטוט גיאומטרי המכיל שתי נקודות מגוז. נקודות כאלו הן הבסיס לגיאומטריה פרויקטיבית ולציורים בפרספקטיבה. נבקש מאהרן גם למדוד את המרחק של נקודת המגוז שמשמאל למרכז התמונה (L) ואת המרחק של המגוז שמימין למרכז התמונה (R) (ראו איור).

כיצד זה יעזור למצוא את הזווית המבוקשת שממנה צולמה התמונה? 

כותבי המאמר [2] מצאו פתרון גיאומטרי, אולם מתמטיקאית בשם אנליסה קרנל הציעה פתרון פשוט יותר, באמצעות טריגונומטריה [5]. במבט מלמעלה, נהפוך את הבעיה לבעיה בטריגונומטריה ונגלה שטנגנס הזווית הוא השורש הריבועי של R/L. למשל, אם R=L נגלה שהתמונה צולמה בזווית 45 מעלות לחזית. (ראו איור) 

 אחרי שמצאנו את הזווית מתעוררת בעיה נוספת: כיצד נמצא את המרחק למקום שבו צולמה התמונה?

דיברנו על פתרון הבעיה של מציאת מרחקים באמצעות מצלמה בודדת בפוסט על מובילאיי [6], הברקה שהזניקה את החברה. העיקרון, המבוסס על המתמטיקה של דמיון משולשים, הוא שהיחס בין גודל עצם למרחקו מהמצלמה שווה לגודל התמונה שלו שנקלטה בסנסור המצלמה, חלקי המרחק בין העדשה לסנסור, מה שקרוי "מרחק המוקד". אולם בניגוד למובילאיי, יש לנו בעיה נוספת: המצלמה הישנה, למשל זו משנת 1890, איננה בידינו, והנתונים שלה, כמו מרחק המוקד, אינם זמינים. 

כאמור, בתנאים מסוימים אין פתרון, כי חסר נתון. אולם אם התמונה מכילה עצמים הנמצאים במרחקים שונים ניתן להגיע לפתרון בעזרת מדידות בשטח ובאמצעות אלגברה. נניח שיש לנו תמונה עם החלון של אהרן, שמדדנו וגילינו שהוא בגובה שמונה מטר וארבעה מטרים מלפניו יש עץ בגובה ארבעה מטרים. אם נמדוד בסרגל את הגדלים בתמונה, ונגלה שהעץ בתמונה הוא בגובה החלון, נוכל למצוא, בחישוב אלגברי פשוט, שהמצלמה הייתה במרחק שמונה מטרים מהבית. 

כותבי המאמר [2] הצליחו לאתר את מיקום המצלמה וצילמו שם תמונה עדכנית. אנו מזמינים גם אתכם לשחזר תמונות ישנות ולשלוח לנו. 

כעת נניח לאהרן לישון, ורק נספר לו שיש במתמטיקה שילמד בעתיד שלל כלים המסייעים לאתר מיקומים. ואז…"העיפרון הסגול נפל על הרצפה, ועל אהרן נפלה תרדמה עמוקה".[1]

• עריכה: ינון קחטן
• הרשות לשימוש בעטיפת הספר באדיבות הוצאת מודן

הערות והרחבות: 

[1] אהרן והעיפרון הסגול

[2] המאמר - איפה הייתה המצלמה

[3] היסטוריה של פרספקטיבה 

[4] נקודת מגוז 

[5] מאמר המשך - איפה הייתה המצלמה

[6] מציאת מרחק לרכב באמצעות מצלמה - מובילאיי