ב־17 במרץ הלך מאיתנו פרופסור דוד שמיידלר ז"ל, מענקי תורת המשחקים, תורת ההחלטות והכלכלה בישראל. נספר כיצד מושג יסודי בתורת המשחקים שהגדיר בדוקטורט שלו – הגרעינון של משחק שיתופי – אפשר לשני ענקים אחרים, פרופסור ישראל אומן ופרופסור מיכאל משלר, להסביר חוקי חלוקת רכוש מן המשנה, שתעתעו בפרשנים מתקופת התלמוד עד המאה העשרים.

פוסט אורח מאת ינאי גונצ'רובסקי, פרופסור לכלכלה ולמדעי המחשב באוניברסיטת הרווארד 

מערכה ראשונה: המשנה

כיצד יש לחלק עיזבון של אדם שנפטר והשאיר אחריו חובות הגדולים משווי נכסיו? מתברר ששאלה זו נשאלה עוד בתקופת המשנה. הפרק העשירי במסכת כתובות במשנה דן באופן חלוקת העיזבון של אדם שהיה נשוי ליותר מאישה אחת, במקרה שהעיזבון שהותיר אינו מספיק כדי לשלם את כתובותיהן של כל נשותיו. ההוראות כיצד לנהוג כאשר האדם היה נשוי לשלוש נשים אינן נתונות כהסבר מפורש כיצד לחשב כמה תקבל כל אישה, אלא כשלוש דוגמאות. בכל הדוגמאות סכומי הכתובות הם 100 דינרים עבור האישה הראשונה, 200 דינרים עבור השנייה ו־300 דינרים עבור השלישית. הדוגמאות מפרטות כמה תקבל כל אישה במקרה ששווי העיזבון הוא 100 דינרים, 200 דינרים או 300 דינרים (טבלה 1).

במקרה ששווי העיזבון 100 דינרים, הסכום יתחלק בין הנשים שווה בשווה (⅓33 לכל אחת). במקרה ששווי העיזבון 300 דינרים, כל אישה תקבל מחצית משווי כתובתה (כלומר 50, 100 ו־150 בהתאמה, שאכן מסתכמים ל־300). במקרה ששווי העיזבון 200 דינרים, קורה משהו משונה מעט: האישה שכתובתה 100 דינרים תקבל 50, וכל אחת משתי הנשים האחרות תקבל 75.

טבלה 1

אך מה היה קורה לו שווי העיזבון היה 150, 250, או 350 דינרים? כיצד היינו מחלקים אותו? כדי לענות על שאלה כזו עלינו לנסות להבין מהו "כלל החלוקה" העומד מאחורי הדוגמאות: מהו ה"מרשם" שעלינו להפעיל על שווי כתובות כלשהן ועל שווי עיזבון כלשהו כדי לדעת מהו הסכום שעל כל אישה לקבל? אם נבחן את הדוגמאות, נשים לב לשתי תכונות מסתוריות שלהן:

1. עבור שווי עיזבון של 100 ושל 300 נדמה שמופעלים שני כללי חלוקה שונים: עבור שווי עיזבון של 100 מדובר בחלוקה שווה, ועבור שווי עיזבון של 300 מדובר בחלוקה יחסית (כל דינר מהעיזבון מחולק בין הנשים באופן יחסי לשוויי הכתובות שלהן).
2. ההיגיון שמאחורי החלוקה עבור שווי עיזבון של 200 אינו ברור: החלוקה אינה שווה או יחסית, וגם אינה נראית כשילוב של חלוקות כאלה.

שתי תכונות אלה עוררו התפלפלויות רבות, מימי התלמוד ועד המאה העשרים, עד כדי כך שרבים חשבו שמדובר בשגיאה של ממש בדוגמאות.

מערכה שנייה: ירושלים, שנות השישים של המאה ה־20

כאלפיים שנים לאחר חתימת המשנה, דוד שמיידלר ז"ל, שהיה לימים פרופסור באוניברסיטת תל אביב ומענקי תורת המשחקים והתיאוריה הכלכלית בעולם, במחקר במסגרת עבודת הדוקטורט שלו בהנחיית פרופסור ישראל אומן (לימים חתן פרס נובל בכלכלה), מגדיר את ה"גרעינון" של משחק שיתופי [1]. בתורת המשחקים, משחק שיתופי הוא משחק שבו לכל משתתף או קבוצת משתתפים יש "כוח יחסי". לדוגמה, במקרה של חלוקת ירושה הכוח היחסי של קבוצת נשים הוא סכום הכתובות שלהן; במקרה של מפלגות בכנסת, הכוח היחסי של קבוצת מפלגות הוא 0 אם יש בהן בסך הכול פחות מ־60 ח"כים, ו־1 אם יש בהן יותר מ־60 ח"כים (כלומר, הן יכולות ליצור קואליציה). ה"גרעינון", הגדרה מתמטית מורכבת שקצרה היריעה מלפרט כאן, הוא הצעה ל"פתרון" עבור משחק שיתופי: תחזית לאופן שבו המשתתפים יחלקו ביניהם שלל מסוים.

מערכה שלישית: ירושלים, שנות השמונים של המאה ה־20

כמה שנים לאחר פרסום מחקרו של שמיידלר, בנו של פרופסור אומן, שלמה, הציג לאביו את הבעיה מן המשנה. פרופסור אומן ופרופסור מיכאל משלר ז"ל בדקו ומצאו שה"גרעינון" של שמיידלר מסביר בדיוק את שלוש הדוגמאות מן המשנה: הגרעינון הוא כלל החלוקה מן המשנה! הגדרה כללית של משחק שיתופי ושל הגרעינון היא, כאמור, סבוכה מדי עבור רשומה זו, ובכל זאת נסביר בקצרה את כלל החלוקה במקרה של כתובות, כפי שניסחו אותו אומן ומשלר במאמר משנת 1985 [2]. המאמר הוקדש לזכרו של שלמה אומן ז"ל, שנפל במלחמת שלום הגליל.

כדי להסביר את כלל החלוקה נחזור שוב אל המשנה, אל שאלת חלוקה פשוטה יותר. במסכת בבא מציעא מסבירים לנו מה לעשות במקרה שבו "שניים אוחזין בטלית", כלומר שני אנשים טוענים לבעלות על אותה טלית. אם כל אחד מהם טוען שכל הטלית שייכת לו, הם חולקים אותה. אם אחד טוען שכל הטלית שלו והשני טוען שמחצית מהטלית שלו, אזי הראשון מקבל ¾ מן הטלית והשני מקבל ¼. ההיגיון שמאחורי המקרה השני הוא שעל מחצית מן הטלית (המחצית שהאדם השני אינו דורש) אין ויכוח: היא שייכת לאדם הראשון. על המחצית השנייה שני האנשים דורשים בעלות, ועל כן היא נחלקת ביניהם.

אומן ומשלר שמו לב שבין כל שתי נשים בבעיית הירושה שאיתה התחלנו, החלוקה נעשית בשיטת "שניים אוחזין". כלומר, בכל אחת משלוש הדוגמאות, אם ניקח את סך הכספים שזוג כלשהו של נשים מקבלות ונרצה לחלק אותו ביניהן על פי שיטת "שניים אוחזין", אז כל אחת מהן תקבל בדיוק את מה שהדוגמה מורה לתת לה. למשל, בדוגמה שבה העיזבון הוא 200, כתוב שהאישה הראשונה מקבלת 50 והשנייה 75, כלומר ביחד הן מקבלות 125. כיצד יש לחלק ביניהן את 125 הדינרים הללו לפי שיטת "שניים אוחזין"? על 25 דינרים אין מחלוקת ורק האישה השנייה דורשת אותם, ולכן היא תקבלם. את 100 הדינרים שנשארו שתי הנשים דורשות, ולכן נחלק אותם ביניהן שווה בשווה. בסך הכול תקבל האישה הראשונה 50 דינרים והשנייה 75 דינרים  – בדיוק כפי שהדוגמה מורה. תוכלו לבדוק שהאמור נכון עבור כל זוג נשים בכל אחת משלוש הדוגמאות.

אם כך, אם מציעים לנו חלוקה של עיזבון בין שלוש נשים, לא קשה לוודא שהחלוקה בין כל שתיים נעשית בשיטת "שניים אוחזין". אבל מה קורה אם מציבים בפנינו בעיית עיזבון ומבקשים שנציע חלוקה? האם תמיד ניתן למצוא חלוקה של העיזבון בין שלוש הנשים כך שהחלוקה בין כל שתיים תתאים לשיטת "שניים אוחזין"? וגם אם כן, אולי יש יותר מחלוקה אחת של העיזבון שתקיים את הוראת "שניים אוחזין" בין כל שתי נשים מן השלוש? אומן ומשלר הוכיחו [2] שהתשובה לשאלה הראשונה היא כן: אין זה משנה מהו שווי העיזבון ומה שווי הכתובות, תמיד ניתן למצוא חלוקה מתאימה. הם הוכיחו גם שהתשובה לשאלה השנייה היא לא: יהיו שווי העיזבון ושווי הכתובות אשר יהיו, ישנה חלוקה מתאימה אחת ויחידה: ה"גרעינון" שהגדיר פרופסור שמיידלר בעבודת הדוקטורט שלו.
יהי זכרו של פרופסור שמיידלר ברוך.

עריכה: סמדר רבן

מקורות והרחבות

[1] המאמר שבו הגדיר שמיידלר את הגרעינון של משחק שיתופי

[2] המאמר של אומן ומשלר על הבעיה מן המשנה והקשר שלה לגרעינון של שמיידלר

[3] גרסה עברית של המאמר של אומן ומשלר הכתובה עבור קהל יעד המתעניין במשנה

[4] מאמר המשך של אומן בעברית, בעקבות תגובות על הגרסה העברית

[5] מאמר המשך שני של אומן בעברית, בעקבות תגובות על מאמר ההמשך הראשון

[6] הרצאה של פרופסור אומן על יישוב סכסוכים, שבה הוא מסביר מ־30:35 על הסוגיה שבה עוסקת הרשומה