להלן משחק מטופש - דנה כותבת שני מספרים שונים על פתקים. דני בוחר את אחד הפתקים ומסתכל במספר. כעת הוא צריך להחליט אם זה המספר הגדול או הקטן מבין השניים. האם דני יכול לעשות משהו מלבד סתם לנחש?

נמאס לכם לשחק שחמט? איקס-עיגול כבר לא מרגש? היכונו ללהיט הבא של הקיץ: "איזה מספר גדול יותר?" [1]

המשחק מיועד לשני שחקנים, מגיל שנתיים עד אין-סוף, ומתנהל כך:

השחקן הראשון כותב שני מספרים שונים על פתקים. המספרים יכולים להיות ככל העולה על רוחו של השחקן - קטנים, גדולים, חיוביים, שליליים, שלמים, אי-רציונליים, בקיצור - כל מספר ממשי.

כעת השחקן השני פותח את אחד הפתקים, וצריך להכריז אם זה המספר הגדול או הקטן מבין השניים. 

אם התשובה נכונה, השחקן השני מנצח; אחרת מנצח השחקן הראשון.

נשמע כיף? לא במיוחד. בסדר. אבל תזרמו רגע.

נשאל את עצמנו את השאלה הבאה: מה שחקן 2 יכול לעשות כדי להגדיל את סיכוייו לנצח?

קודם כל נשים לב שלשחקן 2 יש אסטרטגיה שמבטיחה ניצחון בסיכוי של חצי: הוא בוחר פתק באקראי (כלומר סיכוי של חצי לכל אחד מהפתקים), ומכריז שהמספר שכתוב על הפתק הוא המספר הגדול.

בסיכוי של חצי הבחירה תהיה נכונה. לא מפתיע במיוחד. על פניו, נראה שגם אין דרך להצליח מעבר לכך - הרי ברגע ששחקן 2 מסתכל על אחד הפתקים, לא נוסף לו שום מידע על המספר שבפתק השני.

לדוגמה, אם הסתכלתי בפתק וראיתי שהמספר הוא 2,355,129.4, האם זה אומר לי משהו על הפתק השני? לא.

השתכנעתם שאי אפשר להצליח בסיכוי גבוה מחצי? אז תחזיקו חזק:

לשחקן 2 יש דרך לנצח בסיכוי גדול מחצי!

שחקן 2 יפעל כך: ראשית, הוא יגריל מספר ממשי כלשהו (ומייד נסביר מה זה אומר). נקרא למספר הזה "סף". כעת שחקן 2 יפתח את אחד הפתקים באקראי ויסתכל במספר שמופיע בו. אם המספר גדול מהסף, הוא יכריז שזה המספר הגדול, ואחרת יכריז שזה המספר הקטן.

אנחנו טוענים שבדרך הזו סיכוי ההצלחה של שחקן 2 גדול מחצי. נבחן את שלושת התרחישים האפשריים (ראו איור):

• אם הסף קטן משני המספרים שבפתקים, אז בכל מקרה שחקן 2 יכריז שהמספר הוא הגדול, וזה נכון בסיכוי של חצי.
• אם הסף גדול משני המספרים, אז שחקן 2 יכריז שהמספר הוא הקטן, וזה נכון שוב בסיכוי של חצי.
• אם הסף נפל איפשהו בין שני המספרים, אז המספר הגדול הוא גדול מהסף, והקטן קטן מהסף, לכן ההכרזה של שחקן 2 בטוח נכונה!

מכיוון שיש סיכוי גדול מ-0 שהסף ייצא בין שני המספרים, ואז הניצחון ודאי, נקבל שהסיכוי הכולל גדול מחצי.

נשאר רק להסביר את הגרלת הסף - איך מגרילים מספר ממשי "כלשהו"? ובכן, זה לא כל כך פשוט. קודם כל צריך לבחור התפלגות, כלומר מה הסיכוי לקבל כל מספר. נוסף על כך, כדי שהשיטה שלנו תעבוד, אנחנו רוצים התפלגות שבה כל מספר יכול להיבחר בהסתברות גדולה מ-0 (נעיר שיש כאן אי דיוק מתמטי שקצרה היריעה מלהיכנס אליו).
למשל, אפשר לקחת "התפלגות נורמלית" (שלעיתים נקראת התפלגות "פעמון" או התפלגות גאוס). לא ניכנס כאן לפרטים, רק נציין שקיימות הרבה התפלגויות כאלו.

התוצאה שהצגנו נוגדת מאוד את האינטואיציה, אבל אין כאן שקר או פרדוקס - זה פשוט נכון שאפשר להצליח בסיכוי גדול מחצי. 

עם זאת, חשוב לציין שייתכנו מקרים שבהם הסיכוי של שחקן 2 להצליח גדול מחצי רק בטיפהל'ה. למשל, אם שחקן 1 בוחר שני מספרים קרובים מאוד, כך שהסיכוי שהסף ייפול ביניהם קטן מאוד. 

הרעיון שדנו בו הופיע לראשונה במפורש במאמר בן חצי עמוד [2], ויצר עניין רב (ראו סקירה ב-[1]). בפרט, המשחק הזה קשור לבעיות נוספות ומעניינות על הגבול שבין תורת המשחקים, תורת ההסתברות ותורת האינפורמציה, כמו למשל "משחק גוגול" [3], שהוא מעין גרסה מוכללת של המשחק לעיל, עם יותר משני פתקים.

הערת אזהרה לסיכום: אל תנסו את זה בבית. המשחק הזה ממש משעמם.

עריכה: שיר רוזנבלום-מן

 מקורות לקריאה נוספת:

[1] Gnedin, Alexander. "Guess the larger number." arXiv preprint arXiv:1608.01899 (2016).

[2] Cover, Thomas M. "Pick the largest number." Open problems in communication and computation. Springer, New York, NY, 1987. p. 152.

[3] ערך ויקיפדיה על המשחק גוגול.