שוב ניעזר בדוגמה מעולם ההימורים כדי להבין הסתברות וסיכויים. מה עדיף בהימור על קוביות, מספר גדול יותר של קוביות, או סיכוי גבוה יותר לזכות בכל קובייה? מה אתם חושבים? ומה מראה החישוב המתמטי?

פוסט אורח מאת ד"ר אופיר דוד

החלטתם להמר במשחק קובייה פשוט. אתם בוחרים מספר בין 1 ל-6 ומטילים קובייה רגילה בעלת 6 פאות. אם הקובייה נופלת על המספר שבחרתם – אתם זוכים. אחרי כמה נסיונות, מנהל המשחק מציע לכם הצעה מעניינת: במקום קובייה אחת הוא יטיל שתי קוביות, אבל כל אחת בעלת 12 פאות, ואם לפחות אחת מהקוביות תיפול על המספר שבחרתם – תזכו. האם כדאי לכם לקבל  את ההצעה שלו? האם עדיף להמר כשמספר הקוביות גדול פי שניים והסיכוי להימור נכון בכל אחת מהקוביות קטן פי שניים? ומה אם הוא יציע להטיל 10 קוביות שלכל אחת מהן 60 פאות? מה הייתם בוחרים?

בעולם אידיאלי, שבו אי אפשר לרמות במשחק קוביות, הסיכויים לנפילה של קובייה על כל אחת מן הפאות הם שווים [1]. במקרה הפרטי של קובייה רגילה בעלת 6 פאות, הסיכוי שהקובייה תיפול על המספר שבחרתם הוא 1/6. במשחק של שתי קוביות בעלות 12 פאות יש לנו 144=12*12 הטלות שונות (ראו טבלה), ומכיוון שהקוביות אינן יודעות לדבר זו עם זו (ההטלות בלתי תלויות), הסיכויים לכל ההטלות האפשריות שווים. בין ההטלות האפשריות יש בדיוק הטלה אחת שבה המספר שבחרתם מופיע פעמיים, 11 הטלות שבהן רק הקובייה הראשונה מראה את המספר שלכם, ועוד 11 הטלות שבהן רק הקובייה השנייה מראה את המספר שלכם. כלומר, יש בסך הכול 23 הטלות אפשריות שבהן רואים את המספר שבחרתם. מכאן עולה שהסיכוי שתזכו בהטלת שתי הקוביות הוא 23/144, שזה מעט פחות משישית, ומשמעות הדבר היא שההצעה לשחק בשתי קוביות אינה כדאית.

ומה קורה עם עשר קוביות בעלות 60 פאות? אולי דווקא משחק כזה יעניק לנו יתרון? החישוב למעלה ייעשה מסובך הרבה יותר, אבל למזלנו, בעולם ההסתברות יש דרך קלה יותר לערוך חישובים כאלו. במקום לחשב את את הסיכוי לנצח נחשב את הסיכוי להפסיד, כי נוח יותר לבצע חישובי הסתברות של "וגם" (הקובייה הראשונה וגם הקובייה השנייה אינן מראות את המספר שלנו) מאשר חישובים של "או" (הקובייה הראשונה מראה את המספר שלנו או הקובייה השנייה מראה אותו). הסיבה לכך היא שבמקרים רבים "וגם" מתבטא בחישובים ככפל פשוט.

עבור קובייה אחת בעלת 6 פאות, הסיכוי להפסיד הוא בדיוק 5/6. לעומת זאת, עם שתי הקוביות בעלות 12 פאות, הסיכוי של קובייה אחת לא ליפול על המספר שבחרנו הוא 11/12, ולכן הסיכוי שהקובייה הראשונה וגם הקובייה השנייה לא יפלו על מספר זה הוא מכפלת הסיכויים, כלומר 11/12 בריבוע. זהו בדיוק המשלים ל-1 של הסיכוי לזכות שחישבנו קודם, כלומר 1-23/144, שזה קצת יותר מ-5/6. כלומר, הסיכוי להפסיד גדול יותר.
בדרך דומה מחשבים עבור מספר גדול יותר של קוביות, ולמשל עבור 10 קוביות שלכל אחת מהן 60 פאות, נקבל שהסיכוי להפסיד הוא 59/60 בחזקת 10, וגם מספר זה גדול מ- 5/6.

אז ראינו שהגדלת מספר הקוביות פי שניים, כשהסיכוי להימור נכון בכל קובייה קטן פי שניים, מקטינה את הסיכוי שלנו לזכות אם אנחנו רק רוצים לקבל את המספר שבחרנו. אבל אולי שינוי קטן של חוקי המשחק יכול לעזור: היתרון הגדול של הטלת שתי קוביות הוא שהמספר שלנו יכול להופיע פעמיים! לכן, אם נשנה את החוקים כך שהפרס יגדל בהתאם למספר הפעמים שהמספר שלנו יופיע, אולי כן כדאי להגדיל את מספר הקוביות.

בואו ונבדוק כמה פעמים בממוצע נראה את המספר שבחרנו. אם נזרוק קובייה אחת בעלת 6 פאות, יש סיכוי של 1/6 לקבל אותו, והוא יכול להופיע רק פעם אחת. לעומת זאת, עם שתי קוביות בעלות 12 פאות, ראינו שיש סיכוי של 22/144 לקבל אותו פעם אחת, ועוד סיכוי של  1/144 לקבל אותו פעמיים, ולכן בממוצע:
1/6=24/144=22/144*1+ 1/144*2
כלומר, למרות שהסיכוי לקבל את המספר הוא קטן יותר, בממוצע מספר הפעמים שנקבל אותו לא ישתנה. זה יהיה נכון גם אם נזרוק 10 קוביות בעלות 60 פאות, 100 קוביות בעלות 600 פאות וכולי. במילים אחרות, אם סכום הזכייה ייקבע לפי מספר הפעמים שהמספר שלנו מופיע (ולא לפי אם הוא מופיע או לא), אז מספר הקוביות לא ישפיע על הזכייה שלנו.

אז איך הייתה האינטואיציה שלכם?
ולסיום, שאלה: אם תטילו קובייה בעלת 6 פאות פעם בדקה, קובייה בעלת 12 פאות פעם בחצי דקה וקובייה בעלת  6*60 פאות פעם בשנייה, באיזה מהמקרים תקבלו מוקדם יותר את המספר שבחרתם?

אופיר דוד הוא דוקטור למתמטיקה.

עריכה: סמדר רבן

מקורות והרחבות:

[1] קוביות משחק

פוסטים נוספים עוד על הימורים ומתמטיקה:

המתמטיקה של ספירת קלפים

המתמטיקה של הרולטה