מובן שאיננו מעודדים הימורים, אך הרולטה היא דוגמה שבעזרתה נוכל להבין הסתברות והטיות. האם קיימת שיטה לנצח את הרולטה ולהרוויח בוודאות? מהם עקרונות השיטה? מה זה Gambler's ruin? והכי חשוב, מה הקשר להפרדת כביסה?

כולנו מכירים את הסצנה הזאת בסרט: הגיבור נכנס לקזינו גדול, צועד בביטחון לשולחן רולטה ושם את כל האסימונים על מספר מסוים. הדילר מסובב את הרולטה וזורק את הכדור לכיוון השני, המוזיקה הדרמטית מתגברת – זום-אין על פניו של השחקן, זום-אאוט אל השולחן הירוק, המתח עולה... איזה מספר יעלה בגורל?

משחק הרולטה (Roulette) כפי שאנו מכירים אותו הומצא בצרפת לפני יותר מ-200 שנה, ופירוש שמו הוא ''אנחנו נכנעים'' בצרפתית. סתם, המשמעות היא גלגל קטן [1]. העיקרון שמאחוריו פשוט למדי – הרולטה היא גלגל שעליו תאים ממוספרים, והמהמר צריך לנחש באיזה מן התאים ינחת כדור המוטל אל הגלגל. התאים ממוספרים מ-1 עד 36, ולכל מספר יש צבע, אדום או שחור. זהו משחק של מזל טהור, לעומת בלאק ג'ק לדוגמה (ראו פוסט שכתבנו על ספירת קלפים [2]).

יש כמה אפשרויות להימור: אפשר להניח אסימון על מספר יחיד; אם מספר זה יעלה בגורל, המהמר יזכה והרווח יהיה גדול מאוד – סכום ההימור כפול 36. בניכוי סכום ההימור, המהמר ירוויח סכום הגדול פי 35 מסכום ההימור. אפשר להגדיל את הסיכוי לזכייה אם מהמרים על קבוצה של מספרים, לדוגמה צבע (אדום או שחור), זוגיות (מספר זוגי או אי-זוגי) או קבוצת מספרים מסוימת (שליש אחרון – המספרים 25 עד 36, מחצית שנייה – המספרים 19 עד 36, וכדומה).

שיעור הרווח האפשרי תואם להסתברות הזכייה בהימור ומכונה יחס הזכייה (סיכון גדול – רווח גדול). לדוגמה, אם בחרת להמר ב-100 דולר על הצבע אדום, שבו צבועים מחצית מהמספרים, תוכל לזכות ב-100 דולר. הוגן למדי, לא? סיכוי של 1:1, יחס זכייה של 1:1. אבל יש מלכוד. אומנם על גלגל הרולטה יש 36 מספרים, אבל מספר התאים הוא 38, כי בנוסף למספרים יש שני תאים ירוקים שעליהם הספרה אפס. דבר זה משנה את כל ההסתברויות: ההסתברות לזכייה כשמהמרים על מספר יחיד אינה 1/36, אלא 1/38; ההסתברות לזכייה כשמהמרים על צבע אדום או שחור (18 תאים) אינה 18/36 (50%), אלא 18/38 (47.3%). אולי ההבדל נראה קטן, אך הוא מטה את הכף לטובת הקזינו. אם הכדור נופל באחד התאים עם האפס כל המהמרים מפסידים, אלא אם הימרו על אפס. נציין שיש גם גרסה שבה רק תא אחד עם אפס. היא נפוצה באירופה ונקראת, באופן מפתיע, רולטה אירופית. יש גם גרסה שנקראת רולטה רוסית, אבל זה משהו אחר, שאנחנו מעדיפים לא להיכנס אליו.

עכשיו, כשהבנו את חוקי המשחק ואת ההסתברויות, נראה כי מדובר במשחק מזל טהור וכיפי, לא? פשוט בוחרים תא ונותנים לאלת המזל לעבוד.
ובכן, יש הטוענים שקיימת שיטה המאפשרת לנצח את הקזינו גם בלי עזרת המזל. מובן שאם זה היה נכון היינו כותבים את הפוסט הזה מיאכטה במלידביים ולא מפתח תקווה, ובכל זאת נסביר על השיטה, המכונה "שיטת ההכפלות" או "שיטת מרטינגל". על פי השיטה, עבור משחק שבו יחס הזכייה הוא 1:1, נתחיל להמר ב-10 דולר, למשל. אם נזכה, נרוויח 10 דולר ונפסיק להמר. אם נפסיד, נכפיל את סכום ההימור ל-20 דולר. אם ננצח עכשיו, נכסה את ההפסד הקודם ונרוויח 10 דולר בסך הכול. אם נפסיד, צברנו הפסד של 30 דולר. נכפיל את ההימור ל-40 דולר, ושוב – אם ננצח נרוויח 10 דולר. כך נמשיך עד שננצח פעם אחת, ואז נפסיק להמר.

אם נתחיל להמר כשבידינו סכום כסף בלתי מוגבל, שיטה זו אכן עשויה לעבוד: הסיכוי שבשלב כלשהו נצליח בהימור ונרוויח הוא גבוה מאוד (בעגה מתמטית – סיכוי השואף ל-1). אפשר לומר אף יותר מכך: הסיכוי שננצח בתוך 7 משחקים גבוה מ-0.99. באופן כללי, הסיכוי להפסיד ברצף ארוך של משחקים דועך בצורה מעריכית. (רצינו להסביר, אבל בעקבות הקורונה כולם כבר מומחים לגרפים מעריכיים [3].)

אז למה לא לשחק בשיטה הזו? משתי סיבות:
ראשית, כדי לממש את השיטה נזדקק למאגר אינסופי של כסף. כדי שנוכל להתאושש מרצף של שבעה הפסדים כאשר ההימור ההתחלתי הוא 10 דולר, לדוגמה, נצטרך להשקיע 1270 דולר. בנוסף, יש בקזינו תקרת הימורים, כלומר לא ניתן להמר מעל סכום מסוים. מכיוון שאנו מכפילים את ההימור בכל משחק (סדרה הנדסית), נגיע לתקרה זו מהר יותר מאליס אחרי אכילת העוגייה. כלומר, יש סיכוי גבוה מאוד שהמהמר יתרושש לפני שירוויח.

שנית, הניתוח לעיל מניח שנפסיק להמר לאחר שנזכה פעם אחת. אבל אם נשחק בשיטה זו שוב ושוב, כמעט בטוח שלפחות באחת מהחזרות נפסיד בסדרת משחקים ארוכה. למשל, אם נחזור על הימור המתחיל ב-10 דולר ופעם אחת נפסיד בעשרה משחקים רצופים, נפסיד יותר מ-10,000 דולר.

אפשר להראות כי במשחק שבו יחס הזכייה 1:1 והסיכוי לזכות הוא  50:50, תוחלת הרווח (כלומר הממוצע) היא אפס בדיוק. אבל ברולטה המצב טוב פחות, מכיוון שהרווח והתוחלת מוטים לטובת הקזינו, וסיכויי הזכייה אינם באמת 50:50. בממוצע הקזינו ירוויח תמיד, לכן עדיף להיות בעל קזינו ולא מהמר מן השורה. משיטת הימורים זו פותחה תורה שלמה, "תורת המרטינגלים", ולה שימושים רבים ומעניינים. דרך אגב, לא לגמרי ברור מה מקור השם מרטינגל [4].

הכשל בשיטת מרטינגל אינו מקרי. למעשה זהו מקרה פרטי של המושג הסטטיסטי Gambler's ruin (ניתן לתרגם זאת ל'חורבן המהמר'; אין מה לעשות, באנגלית זה נשמע טוב יותר), שלפיו בכל משחק הימורים בעל תוחלת שלילית (סיכויי הזכייה מוטים לטובת הקזינו), בכל שיטת הימור שבה השחקן מהמר בכל שלב על חלק יחסי קבוע מהסכום שבידיו או יותר, בסופו של דבר השחקן יתרושש. במילים אחרות – כל שיטת הימורים סופה לרושש את השחקן (בכפוף להנחה סבירה שלא נפרט כאן).

בנוסף, ישנו כשל חשוב שאינו קשור בהכרח למרטינגל. מדובר בקושי האנושי לקבל כי אין קשר בין אירועים שהתרחשו בעבר לאירועים עתידיים. לדוגמה, רצף של חמש פעמים צבע שחור אינו מלמד דבר על התוצאה הבאה. לכדור אין זיכרון או תודעה, והוא אינו חושב לעצמו "היי, נפלתי חמש פעמים על שחור, הפעם אגוון קצת ואנחת על אדום".

מהי השורה התחתונה? אל תהמרו! אם אתם אוהבים הימורים, מתח וצבעים שמסתובבים במהירות – נסו לעשות כביסה צבעונית ולבנה ביחד. אולי תזכו בטי-שירט ורודה.

עריכה: סמדר רבן

מקורות והרחבות:

[1] מקור משחק הרולטה

[2] פוסט על ספירת קלפים בבלאק ג'ק

[3] פוסט על סדרה הנדסית

[4] על מקור השם 'מרטינגל': Mansuy, Roger, and Ronald Sverdlove. "The origins of the word “martingale”." Electronic Journal for History of Probability and Statistics 5.1 (2009): 1-10