המתמטיקה של ספירת קלפים
08/02/2022
בסרט הקומדיה הפרוע "בדרך לחתונה עוצרים בווגאס" (The Hangover) משנת 2009 - המתרחש באופן מפתיע בעיר ההימורים לאס וגאס - בסצינה מפורסמת בסרט אחת הדמויות סופרת קלפים במהלך משחק בלאק ג'ק. מהי המתמטיקה מאחורי משחק הבלאק ג'ק? האם כדאי לספור קלפים? ולמה לא כדאי להוביל ג'ירפה במכונית עם נגרר?
קודם כול נבהיר כי אנחנו לא מעודדים הימורים. הסיכוי הכי גבוה לצאת ברווח מהימורים הוא של בעל הקזינו. בסרט, טיפוס מוזר בשם אלן מתבסס על ספר שקרא, מגיע לקזינו בפוזה של "איש הגשם" ומנצח שוב ושוב במשחק בלאק ג'ק בעזרת טכניקת ספירת קלפים. עד כמה הקטע מציאותי?
ראשית נסקור בקצרה את הקשר בין הימורים למתמטיקה.
הימורים, ובאופן כללי משחקים מבוססי מזל, קיימים משחר ההיסטוריה האנושית, ככל הנראה עוד לפני המצאת המילה הכתובה. הקוביות העתיקות בעולם, בנות 5,000 שנה נתגלו במסופוטמיה (בטח של מילואימניקים) [1]. ראשית ההסתברות כתחום מתמטי מיוחסת לתכתובת מאמצע המאה ה-17 בין המתמטיקאים בלז פסקל ופייר דה פרמה שעסקו בבעיות הקשורות למשחקי מזל. לדוגמה, מה קורה אם שני אנשים משחקים משחק מזל (למשל חמש הטלות מטבע) שמופסק באמצע - מי יוכרז כמנצח? [2]
בקזינו יש משחקים שונים: יש המשלבים מזל ומיומנות (כמו פוקר) ויש הכרוכים במזל בלבד (כגון רולטה). בכל המקרים הסתברות היא רכיב קריטי.
במשחק הבלאק ג'ק השחקן משחק מול הדילר, שמייצג את הקזינו. בתחילת המשחק הוא מקבל מהדילר שני קלפים (בחפיסה יש 52 קלפים שונים). ניקוד כל קלף נקבע על פי ערכו, מלבד נסיך, מלכה ומלך ששווים 10 נקודות כל אחד. האס יכול להיות שווה נקודה אחת או 11, לבחירת השחקן. מטרת המשחק היא להתקרב או להגיע ל-21 נקודות אך לא מעבר. בסוף הסבב, מי שקרוב יותר ל-21, מנצח. בגדול, בכל תור השחקן מחליט אם לבקש קלף נוסף או לעצור. בבקשת קלף הוא יכול להתקרב ל-21 ולהגדיל את סיכוי הניצחון אך גם להגדיל את הסיכון. [3]
מהי ספירת קלפים בבלאק ג'ק? אף שהקטע בסרט הפך לגיף נהדר, אין קשר בין החישובים המוצגים ובין ספירה בפועל, ולמעשה מדובר בתהליך פשוט יחסית.
לפני שנצלול לעקרון השיטה, נתאר בדרך פשטנית שתי שיטות: בראשונה נניח שהדילר חילק את כל הקלפים חוץ מהאחרון, והשחקן עקב אחרי כולם. אז השחקן יודע בדיוק מהו הקלף, ונעלם אלמנט המזל, כי הוא יכול להחליט אם הוא רוצה אותו או לא. באופן דומה, אם נשארו שני קלפים, השחקן יודע עכשיו שיש הסתברות שווה לכל אחד מהם, ויכול לבצע את השיקולים שלו בהתאם. בשיטה השנייה, אילו היו מרשים לאלן להביא לוח ולעקוב בדיוק אחרי הקלפים שכבר ראה, ולעדכן את ההסתברויות בהתאם, אז בכל צעד הוא היה יכול לדעת בדיוק מה כדאי לעשות. אלא שאילו אלן היה נכנס לקזינו עם לוח לא היו נותנים לו לשחק - ולזכור הכול בראש זה כמעט בלתי אפשרי - אז צריך לבצע קירוב. וכאן מגיעה שיטת הספירה.
הרעיון האינטואיטיבי מאחורי ספירת קלפים הוא פשוט: ככל שאנחנו יודעים יותר על התפלגות המספרים שנותרו, אנחנו יכולים להעריך טוב יותר את הסיכוי להתקרב ל-21 בלי לעבור אותו. בפועל, אנחנו צריכים להתמודד עם שתי מגבלות: הקושי לזכור בדיוק אילו קלפים ראינו, והקושי בחישוב הסיכוי לקבלת הקלף או סדרת הקלפים הרצויה. ספירת קלפים עוקפת את הקשיים האלו על ידי קירובים, כך שאפשר לחשב בראש ולהחליט איך לפעול, בהינתן מידע חלקי.
נדגים זאת בעזרת שיטה בסיסית לספירה, המסתמכת על הפרדה בין קלפים גבוהים ונמוכים. כל קלף מקבל ערך: הקלפים 2 עד 6 מקבלים ניקוד חיובי (+1), קלפי ניקוד ה-10 (עשיריות וקלפי המלוכה) ואסים מקבלים ערך שלילי (1-) ואילו הקלפים 7, 8 ו-9 לא נספרים כלל. השחקן סוכם את הניקוד של הקלפים שנחשפים, ככל שהספירה המצטברת גבוהה יותר הוא מגדיל את ההימור. ככל שהספירה גבוהה יותר, ההסתברות לקבל קלפים גבוהים גְּדֵלה. מבחינה סטטיסטית, קלפים אלו טובים יותר לשחקן, כי אז יש לו סיכוי גבוה יותר להתקרב ל-21.
נדגיש שהשיטה אינה מבטיחה זכייה במשחק מסוים, אלא מגדילה את "הזכייה הממוצעת", הערך שבו אנו מצפים לזכות, שנקרא תוחלת. תוחלת מחשבים על ידי הכפלת הערך בהסתברות לקבל אותו. ראו באתר הסבר מלא לחישוב תוחלת ודוגמה מספרית.
חשיבות התוחלת היא שבעזרתה אפשר להוכיח כי אם נשחק סדרה ארוכה של משחקים, אז בסיכוי גבוה מאוד הרווח יהיה קרוב מאוד לתוחלת (חוק המספרים הגדולים). חשוב להבין שמשחק שתוחלתו שלילית הוא משחק שבטווח הארוך מפסידים בו. משחק הוגן הוא משחק שתוחלתו שווה לאפס, אבל לצערנו אין כאלו משחקים בקזינו, כי "הבית תמיד מנצח". בבלאק ג'ק היתרון המרכזי של הקזינו מבוסס על העובדה שהדילר תמיד אחרון לקחת קלפים. כך אם גם השחקן וגם הדילר יעברו את 21 - עדיין השחקן יפסיד.
הסרט "21" משנת 2008 הראה אף הוא שימוש בספירת קלפים, ושאב השראה מסיפורם האמיתי של סטודנטים מ-MIT שהתאגדו והימרו בעזרת השיטה.
https://youtu.be/PsK1c9ZBpuw
כעת עולה השאלה: האם אדם כמו אלן, שאינו מצטייר כמבריק במיוחד, מסוגל ליישם את השיטה? קריאת ספר לא תספיק (צריך גם להכיר את המשחק ולהתנסות בו), אבל עקרונות השיטה הבסיסית פשוטים מאוד ולא מצריכים ידע מתמטי נרחב, ולכן הדבר אפשרי. עם זאת בתנאי אמת קשה ליישם, הקזינו מודע לשיטה ופועל נגדה (משתמש במספר חפיסות, מסיח את דעתו של השחקן או מעיף סופרי קלפים מהקזינו). כלומר רוב הסיכויים שעל סמך הקריאה בספר בלבד, אלן לא היה זוכה כמוצג בסרט, ולמען האמת, קיימת ההסתברות גבוהה יותר שיגנוב למייק טייסון את הטיגריס.
דיוק מדעי 3/10
(ומה בנוגע לג'ירפה? ראו קישור מספר 4)
עריכה: גליה הלוי שדה
מקורות והרחבות
[1] ההיסטוריה הקדומה של ההימורים
Schwartz, David (2013). Roll The Bones: The History of Gambling. Winchester Books. ISBN 978-0615847788.
[2] ההתכתבות בין פרמה לפסקל
Keith Devlin (2010). The Unfinished Game: Pascal, Fermat, and the Seventeenth-Century Letter that Made the World Modern. Basic Books. ISBN 978-0465018963.
[4] למה לא כדאי להוביל ג'ירפה במכונית עם נגרר (זהירות - קשה לצפייה)
דוגמת הקובייה - חישוב תוחלת לזכייה
חוקי המשחק: כניסה למשחק עולה 100 דולר. במקרה שיוצא סכום 7 אני זוכה ב-400 דולר. אם לא - אני מפסיד את דמי הכניסה (כלומר, בהפסד אני משלם 100 ובזכייה מקבל 400).
התוחלת תהיה ⅙*400+⅚*(100-)=16.3-
כלומר אני אפסיד בממוצע 16.3 דולר.
חבר סגל בפקולטה למדעי המחשב בטכניון. חוקר נושאים בתיאוריה של מדעי המחשב: אוטומטים, לוגיקה ומערכות דינמיות.
סמנכ״ל ניו-מדיה של העמותה. בעל תואר ראשון בהנדסת מכונות ותואר שני בהנדסת מערכות (שניהם בטכניון).
מעצבת גרפית ומאיירת חובבת. בוגרת תואר ראשון בביולוגיה מאוניברסיטת בן גוריון.
