בדיחת אינטרנט ישנה אומרת: "יש 10 סוגי אנשים בעולם, אלה שמבינים בינארית ואלה שלא". בפוסט זה נספר על בסיסי ספירה, נתנסה בכמה מהם ונסביר את הבדיחה (אין ברירה!).

נשים לב שכאשר המקדמים 0 עד 9 אינם מספיקים לנו במיקום מסוים, עלינו לגלוש שמאלה ולהשתמש בחזקה הבאה של 10. למשל, אחרי 9 (שהוא 9 פעמים 1) נרצה לכתוב את 10 בעזרת חזקות של 10: הכתיבה אינה 10 פעמים 1 (כהמשך של 9 פעמים 1), אלא פעם אחת 10 (ועוד 0 פעמים 1). 

למה התרגלנו להשתמש בחזקות של 10 דווקא? אולי הסיבה לכך היא מספר האצבעות.
למעשה אפשר להשתמש בחזקות של כל מספר שלם גדול מ-1 כדי לייצג מספרים. אם ניקח מספר אחר N ואת החזקות שלו, נוכל להרכיב מסכום המכפלות של החזקות של N במקדמים שבין 0 ל-(1-N) כל מספר שלם אי-שלילי. ייצוג כזה של מספרים נקרא ייצוג בבסיס הספירה N. כמו במקרה של 10, מספר המקדמים האפשריים (ה"ספרות") שווה ל-N, והם המספרים בין 0 ל-(1-N). כעת בואו נתנסה בכתיבת מספרים בכמה בסיסים שונים!

נתחיל מבסיס הספירה 2, הקרוי גם בסיס בינארי, והוא המקור לבדיחה שבתחילת הפוסט. במקום להשתמש בחזקות של 10, אבני הבניין שבהן נשתמש הן חזקות של 2. החזקות הראשונות הן: 1, 2, 4, 8, 16, 32. כדי לייצג מספר באמצעותן עלינו לכפול אותן במקדמים מסוימים ולסכום את המכפלות. לדוגמה, המספר 5 ייכתב כסכום: 4*1 + 2*0 + 1*1. לפיכך, בכתיבה בבסיס 2 המספר 5 ייכתב  "101": ה-1 מימין הוא המקדם לפני 1, ה-0 הוא המקדם שבו אנו מכפילים את 2, וה-1 במיקום השלישי הוא המקדם הכופל את 4. (המירכאות כאן רק למניעת בלבול ואינן חלק מהכתיבה המקובלת.)

אילו מקדמים יש לנו הפעם? בבסיס 2 מספיקים שני מקדמים:  0 ו-1. למה? כי אין צורך במקדמים נוספים. הספרה 2 בתפקיד מקדם מיותרת: בכל מקרה שניתקף בדחף להשתמש בה כמקדם של אחת החזקות, נוכל פשוט להשתמש בחזקה הבאה, שאותה נכפול במקדם 1. לדוגמה, במקום לכתוב את 8 בתור פעמיים 4 (המקדם 2 כפול 2 בחזקת 2), נעבור לחזקה הבאה של 2 ונכתוב ש-8 הוא 1 כפול 2 בחזקת 3, כלומר "1000". 

אבל נחזור להתחלה לרגע: 0 ו-1 נכתבים כרגיל, כמו בייצוג העשרוני. איך נכתוב את המספר 2? מדובר בפעמיים 1, ועלינו להשתמש בחזקה הבאה של 2 ולחשוב עליו כעל פעם אחת 2 ואפס פעמים 1, כלומר "10".
ו-3 בבסיס 2? זהו "11" (פעם אחת 1 ועוד פעם אחת 2).
ו-4? הוא עצמו חזקה של 2: פעם אחת 4 (כלומר 0 פעמים 1 ועוד 0 פעמים 2 ועוד פעם אחת 4), והייצוג שלו בבסיס 2 הוא "100". נסו להמשיך!
בשלב זה הבדיחה על 10 סוגי האנשים בעולם אמורה להתבהר.

לאורך ההיסטוריה נעשה שימוש בבסיסי ספירה שונים: בבבל העתיקה השתמשו בבסיס 60; בני המאיה השתמשו בבסיס 20, וגם בצרפתית יש רמזים לשימוש בבסיס זה – הפירוש המילולי של 80 בצרפתית הוא 4 פעמים 20; יש עדויות לשימוש בבסיס הספירה 12, המקושר למספר הגלילים באצבעות כף היד, ואף בבסיס 27 (מה?!) [1].

בעולם המחשבים מעדיפים להשתמש בבסיסים 2 ו-16. בסיס 2 שימושי מכיוון שיחידת המידע הבסיסית במחשב היא ביט, אשר יכול להיות בשני מצבים בדיוק (אין זרם / יש זרם), המיוצגים באמצעות 0 או 1. המעבר מבסיס 2  לבסיס 16 פשוט יחסית, וזה האחרון נוח יותר לשימוש אנושי וכתיבתו קצרה יותר.

כדי לכתוב מספרים בבסיס הספירה 16 נזדקק ל-16 מקדמים שונים ("ספרות"). כבר יש לנו עשרה מקדמים ראשונים, הספרות מ-0 עד 9. הסימנים המקובלים למקדמים הנוספים הם האותיות A, B, C, D, E, F. כלומר, המספר 10 בבסיס 16 ייכתב A, ו-15 הוא F. איך נכתוב את 16? זהו 10 כמובן! (0 פעמים 1 ועוד פעם אחת 16.) אחריו באים 11, 12, …, 19, 1A (A-עשרה?) וכן הלאה, עד ל- 1F, שמייצג 15 פעמים 1 ועוד פעם אחת 16, כלומר 31. אחריו מגיע 20 (בבסיס 16) שהוא פעמיים 16 ועוד 0 פעמים 1, כלומר 32, וכולי.  (אפשר למצוא מספרים מוזרים כאלה בהודעות שגיאה מפחידות כגון 0xC00D27DC, שבו ה-0x מסמן כי מדובר בבסיס 16, ומה שמימין לו הוא המספר עצמו.)

לסיכום, יש 10 סוגי אנשים בעולם: אלה שאוהבים ופל לימון, ואלה שלא (-;

ליווי מדעי: נעה זילברמן
עריכה: סמדר רבן

מקורות והרחבות:

[1] על ההיסטוריה של בסיסי ספירה שונים

[2] פוסט על בסיסי ספירה בבלוג "לא מדויק"