זוכרים שהורידו לכם ניקוד בתיכון ובאוניברסיטה אם לא ציינתם בתשובה הסופית יחידות מידה? הסיבה היא שכמעט לכל נוסחה או גודל יש יחידת מידה - ממד במינוח פיזיקלי - והיא מתארת את סוג המידע הדרוש. אך מתברר שלפעמים דווקא משתנים חסרי ממד מתארים טוב יותר את המערכת הפיזיקלית שבמחקר. אז מהם בכלל משתנים חסרי ממד, ואיך הם קשורים כמעט לכל מערכות הניסוי ההנדסיות?

יחידות מידה אינן אהודות במיוחד על סטודנטים למדעים ("למה? למה חייבים לכתוב יחידות מידה בתשובות סופיות?"). סיבה אפשרית  לכך היא שזו דרך למצוא שגיאות: אם רציתם למצוא את מהירות הכדור או את הזמן שלוקח לתהליך כימי להתרחש והיחידות המתקבלות אינן מטר לשנייה או יחידת זמן בהתאמה, כנראה טעיתם בדרך או בנוסחה. אבל אם התשובה הסופית המתקבלת היא באחוזים (למשל מידת היעילות של מערכת), אז מה יחידות המידה במקרה זה? לאחוזים אין יחידות מידה, ובכל זאת קיבלתם תשובה שמלמדת על המערכת שחקרתם.

כמעט בכל משוואה פיזיקלית רוב האיברים בעלי יחידת מידה כלשהי, בין שהם משתנים (כמו מיקום או מהירות) ובין שקבועים (כמו מהירות האור או קבוע הגרביטציה). משוואות בפיזיקה מתארות איך מנגנונים שונים משפיעים על מצב המערכת. לדוגמה, משוואות זרימה ([1]) מתארות איך נוזל מגיב לכוחות שונים, ומשוואת התנועה מתארת מיקום של גוף בהינתן מהירותו ומיקומו ההתחלתי. לכן, במבט ראשון נראה שכל המשוואות הפיזיקליות תלויות במערכת מסוימת של יחידות מידה (SI או CGS לסטודנטים בינינו [2,3]) - מטר, שנייה, קילוגרם וכו'.

התלות של המשוואה ביחידות יוצרת בעיה יסודית בפיזיקה ובהנדסה: נניח שאנחנו מתכננים מטוס, וכדי לבדוק את התכנון בנינו דגם מוקטן שלו, והכנסנו אותו למנהרת רוח באותה מהירות רוח ובאותה טמפרטורה. הדגם עבד כמצופה, אך כשבנינו את המטוס בגודלו האמיתי, הוא לא הצליח להמריא. מדוע זה קרה? ובכן, כשעברנו מקנה מידה של הדגם המוקטן בסנטימטרים לקנה מידה של הדגם האמיתי בעשרות מטרים, השתנו רק חלק מהגדלים בעלי היחידות במשוואה שלנו - הגודל והמשקל - וגדלים אחרים לא השתנו: צפיפות האוויר ומהירות הרוח. לכן עבור הדגם המוגדל נקבל משוואות אחרות שבהן רק חלק מהמשתנים שונים, וזה יכול לגרום לכך שמה שעבד עבור הדגם המוקטן לא יעבוד עבור המטוס האמיתי.

נשאלת השאלה, האם אפשר לכתוב משוואות ללא תלות בקנה מידה או ביחידות של מערכת ספציפית? לפני יותר ממאה שנה הוכיח הלורד בקינגהאם כי כל מערכת פיזיקלית ניתנת לייצוג מתמטי כשילוב כלשהו של משתנים חסרי ממד ([4]). התאוריה הסופר-חשובה הזאת קרויה כיום "משפט הפאי של בקינגהאם", ומוכיחה שמערכות פיזיקליות אינן תלויות במערכות היחידות שבחרנו. נוסף על כך, היא גם עוזרת לנו לפשט את המשוואות מאוד ולבטל תלות בקבועים חיצוניים. המשוואות שיתקבלו יהיו לרוב "יפות" בהרבה ויתנו מידע רב במאמץ מינימלי. מתוך תאוריה זאת פותחו קבוצות של משתנים חסרי ממד ששינו דרמטית את עולם הפיזיקה הניסויית וההנדסה. כל מספר חסר ממד כזה מבטא יחס בין כמה משתנים בעלי יחידות, אך באופן שכל היחידות מצטמצמות.

עכשיו הגענו לשוס האמיתי! אם נבחר שתי מערכות פיזיקליות שונות - למשל דגם מוקטן של מטוס לעומת המטוס האמיתי - שמתוארות על ידי אותן משוואות, ונדאג לקבע את המספרים חסרי הממד, נגלה שהמערכות האלו למעשה זהות מבחינה פיזיקלית, וכך תוצאות שהתקבלו עבור הדגם הקטן, יעבדו גם במערכת האמיתית. משמע שבזכות המספרים חסרי הממד אפשר לבצע ניסויים במעבדה המתארים מערכות גדולות בהרבה, ולהפך. לכן בהמשך לדוגמה הקודמת, נוכל לבצע ניסוי על דגם מטוס פצפון בתוך מנהרת רוח בגודל של סנטימטרים עד מטרים בודדים, ולתאר באופן מדויק מספיק מטוס אמיתי בגודל של מספר עשרות מטרים [5] - כל עוד נקפיד לשנות משתנים אחרים כמו מהירות, טמפרטורה וכו', כך שהמספרים חסרי הממד החשובים למערכת יישמרו. לחלופין אפשר לבנות רובוט בגודל של בננה המתאר במדויק תנועה של בקטריות מיקרוסקופיות [6]. 

איזה טירוף שאפשר לעשות את זה! (כפיים בבקשה). למעשה, מתוך ההגדרה של התאוריה, תופעות שונות קשורות רק לחסרי הממד ולא למשתנים בעלי יחידות, כך שאפשר רק לדמיין את חשיבותם למדע. בפועל, רק בתחום הפיזיקה יש מאות משתנים וקבועים חסרי ממד [7], חלקם הגדול בתחום הזרימה ומעבר החום.

עכשיו אם אתם תוהים איך זה קשור אליכם, אולי תופתעו לגלות שאתם בטח מכירים כמה מהם:

• מקדם ההדבקה, R (אפדימיולוגיה) – יחס ההדבקה הממוצע של נשאים בזמן תקופת ההדבקה.

• מספר מאך - מהירות יחסית למהירות הקול בתווך.

• מספר ריינולדס (זרימה) – יחס בין כוח ההתמד (אינרציה), ובין כוחות הצמיגות (חיכוך) בתווך [8].

כך הצלחנו להסביר מהם משתנים וקבועים חסרי ממד, ואת חשיבותם המדעית. בזכותם ניסויי מעבדה מצליחים לתאר מערכות שונות בצורה יפה ומדויקת להפליא. נותר רק לתהות איך המדענים הסתדרו פעם בלעדיהם. 

עריכה: שיר רוזנבלום-מן

מקורות

[1] - משוואות נאוויה-סטוקס

[2] - מערכת היחידות SI

[3] - מערכת היחידות CGS

[4] - תאוריית הפאי של בקניהם

[5] - ניסויים במנהרות רוח

[6] - מאמר של פרופ' יזהר אור מהטכניון על מידול שחיינים מיקרוסקופיים

[7] - רשימת מספרים חסרי ממד

[8] - פוסט על שכבות גבול