מחשבות בעקבות האולימפיאדה: יש סיטואציות בחיים ואפילו במתמטיקה שבהן אי אפשר להחליט מי הטוב ביותר מבין שלושה מתמודדים ומעלה. זאת לעומת דו־קרב בין שני מתמודדים, שבו בדרך כלל יש מנצח ברור. נדגים באמצעות שני סיפורים דמיוניים על משחק לילי בדו־קרב קוביות ועל טורניר אבן-נייר-ומספריים: מיהו החזק?

נדמיין שאנו נוהגים להיפגש עם חבר ולשחק איתו בדו־קרב קוביות. בתחילת הערב כל אחד בוחר קובייה, וכל אחד מאיתנו מטיל את הקובייה שלו. מי שמטיל מספר גבוה יותר - מקבל שקל מהשחקן השני. ככה ממשיכים להטיל שוב ושוב כל הלילה. אבל המשחק בקוביות רגילות די משעמם, אין רווחים או הפסדים גדולים, ולפיכך ערב אחד אנחנו מחליטים לגוון ושמים על השולחן שלוש קוביות צבעוניות. אלא שבמקום שיכילו את המספרים 6-1, הקובייה האדומה מכילה 6-3-3-3-3-3, הצהובה 4-4-4-4-4-1 והירוקה 5-5-5-2-2-2. החבר מסתכל עלינו בחשד, אבל אנחנו מרגיעים אותו כשאומרים לו שמטרת הקוביות היא למנוע מצבי תיקו, וכמו כן אנו מציעים לו לבחור ראשון בקובייה שיחפוץ. 

החבר בוחר באדומה שמכילה 6, ואז אנו בוחרים בצהובה. מה יקרה במהלך הלילה? מי ינצח יותר פעמים? יש 36=6*6 אפשרויות בהטלת שתי קוביות, מתוכן יש 25=5*5 אפשרויות שבהן יצא לנו 4 ולחבר 3, ולכן ננצח אותו לאורך זמן ביחס 25/36 (ראו  טבלה). החבר מתעצבן, ולמוחרת הוא בוחר בקובייה הצהובה שנראית חזקה יותר. בתגובה אנחנו בוחרים בירוקה. החבר ינצח רק כאשר יצא לו 4 ולנו 2, שזה 15=5*3 אפשרויות. לכן, גם הפעם ננצח אותו ביחס 21/36. למוחרת החבר, שנהיה ממש עצבני, בוחר בקובייה הירוקה שנראית הכי חזקה. אם נבחר באדומה, תוכלו לראות שגם אז בספירת אפשרויות ננצח שוב ביחס 21/36.

ניתן ללמוד שבמשחק זה תמיד השחקן השני לבחור בקובייה (הנכונה) יהיה המנצח. אולם מה שמעניין יותר זה שאין קובייה "הכי חזקה" שמנצחת את כולן. ניתן לחשוב שאם הצהובה מנצחת לאורך זמן את האדומה, והירוקה את הצהובה, אז הירוקה היא החזקה ביותר. אבל הרי מצאנו שהאדומה מנצחת את הירוקה! זהו מצב של מעגליות במקום דירוג חוזק, ומעגליות זו שונה ממצבים רגילים בחיי היום־יום. למשל, אם נמצא בשקילה במאזניים ששק המכיל כדורים צהובים כבד משק המכיל כדורים אדומים, והשק עם הירוקים כבד מזה של הצהובים, נדע לבטח שהשק עם הירוקים כבד מהשק עם אדומים. במתמטיקה קוראים לזה "כלל העברה" (טרנזיטיביות), והוא לא מתקיים בסיפור הקוביות! 

אנחנו רגילים למורכבות בחיי היום־יום, ולכן העובדה שניתן לייצר מעגליות גם במתמטיקה פשוטה באמצעות קוביות היא די מפתיעה. מי שגילה את התופעה בשנת 1970 היה המתמטיקאי בְּרדלי אֶפְרון שיצר סדרה של ארבע קוביות המייצרות את יחס המעגליות. (ניתוח מפורט באתר "רמזור למורה" [1]). האם המעגליות מזכירה לכם משהו מילדותכם?

נעבור לסיפור שני: פרופסורים עורכים תחרות בין שלושה סטודנטים, שנקרא להם אבן, נייר ומספריים. המשחק: למי מהמתמודדים יש חפץ חזק יותר, כזה שיכול לנטרל כמעט לגמרי את החפץ של המתמודד השני בדו־קרב?! בתחרות מגרילים שני סטודנטים שיתמודדו ביניהם, והמנצח יעבור לשלב הגמר ויתמודד מול השלישי על המדליה. אפשרות אחת - הסטודנט נייר והסטודנט מספריים מתמודדים זה מול זה בשלב הראשון, מספריים מתנפל במספריו על הנייר של נייר המסכן, וגוזר אותו לפיסות. אבל בשלב הגמר, כשמספריים מתמודד מול אבן, האבן מונפת על מספריו ומרסקת אותם לרסיסים, והסטודנט אבן יזכה במדליית הזהב. אפשרות אחרת - אם אבן ומספריים יתמודדו הפעם בשלב הראשון, שוב האבן תכסח את המספריים. אבל בשלב הגמר צפויה הפתעה: הסטודנט נייר יבצע תרגיל "איפון" מושלם, יעלה על אבן ויעטוף אותו כליל, ונייר יזכה במדליה! באופן דומה אם נייר ומספריים יוגרלו בשלב הראשון, בסופו של דבר אבן ינצח בתחרות.

כמו שלמדנו עוד בילדותנו במשחק "אבן-נייר-ומספריים", אין חפץ שהוא הכי חזק, ובתחרות זו מי שעלה בגורלו לדלג על השלב הראשון ולהשתתף בשלב השני יהיה הזוכה. כלומר, הכל תלוי בהגרלה! גם במציאות, בתחרויות כמו האולימפיאדה למשל, כאשר יש שוויון כוחות, אנו רואים שהרבה מאוד תלוי בתוצאות ההגרלה שמשבצת את המתמודדים.

אם נעזוב לרגע את התחרות הדרמטית, ניתן לכל סטודנט להתמודד מול שני האחרים (בסך הכל 3 התמודדויות), ונבקש מהפרופסורים המכובדים להצביע ולהחליט מי ניצח, הם לא יוכלו להחליט. מצב זה, שבו עקב המעגליות אי אפשר להכריע באמצעות הצבעה, הוא סוג של פרדוקס הצבעה הקרוי "פרדוקס קונדורסה" [2] על שם המרקיז דה קונדורסה שפרסם אותו בסוף המאה ה-18. פרדוקס זה לעיתים מפריע להחליט החלטה שקולה מי המנצח. 

אכן, ההחלטה מי המנצח כשהכוחות שקולים היא קשה מאוד, ולפעמים תלויה בהגרלה או בהחלטה די שרירותית של השופטים. אם כך נתנחם בכך שמכובד מאוד אפילו רק להשתתף ולהיות קרובים כפסע אל הניצחון: למשל מכובד להיות קובייה אדומה, וגם צהובה או ירוקה, או לחלופין מכובד להיות אבן וגם נייר או מספריים. העיקר ההשתתפות. 

 עריכה: גליה הלוי שדה

מקורות והרחבות:

 [1]  על קוביות אפרון 

[2] פרדוקס קונדורסה