נכיר את הגאומטריה ההיפרבולית, גאומטריה משונה שבה הקווים אינם נראים ישרים, וסכום הזוויות במשולש אינו 180 מעלות. לגאומטריה זו שימושים בפיזיקה יישומית ובתורת היחסות, והיא אף מתגלה לנו בטבע, למשל בצורותיהן של חסה ושוניות אלמוגים. הפעם לא נספר על השימושים ועל חסה, אלא נציג את הרקע ההיסטורי ואת הבסיס המתמטי, ונדגים בעזרת הדפס עץ מוכר ונפלא של אֶשֶׁר.

הגאומטריה המוכרת לנו מבית הספר היא הגאומטריה האוקלידית. היא מבוססת על חמש אקסיומות בלבד, שהונחו בתקופת אוקלידס, בסביבות 300 לפני הספירה. אקסיומות הן הנחות יסוד, שמהן נגזרות שלל מסקנות לגבי משולשים, מעגלים וכולי. פרט טריוויה מעניין הוא שהספר ”יסודות” של אוקלידס היה הספר העיקרי ללימוד גאומטריה עד סוף המאה ה-19 [1, 2, 3].

החמישית מבין האקסיומות של הגיאומטריה האוקלידית, "אקסיומת המקבילים", עוררה במשך השנים חשד ועניין. זוהי האקסיומה בניסוח עכשווי:
נתונים קו ישר ונקודה שנמצאת מחוץ לו; קיים בדיוק קו ישר אחד אשר עובר דרך הנקודה שאינו חותך את הקו הנתון, כלומר מקביל לו.

בהשוואה לאקסיומות האחרות, לאקסיומה החמישית ניסוח מורכב. לכן חשבו המתמטיקאים שאפשר להוכיחה בהסתמך על האחרות, ולהשאיר ארבע אקסיומות בלבד. ניסיונות ההוכחה העלו חרס: התברר שהאקסיומה החמישית אינה נובעת מן האחרות, ויתרה מכך, אם נניח שאינה מתקיימת ונשתמש באקסיומות אחרות במקומה, נקבל גאומטריות שונות.

לפני שנמשיך, נחוצה הבהרה: מה פירוש "גאומטריות שונות"? גאומטריה מגדירה מהן נקודות, מהם קווים ישרים ומה יחסי הגומלין ביניהם. היחסים הם האקסיומות שנבחר, אשר יכתיבו את חוקי המשחק. הגאומטריה האוקלידית מגדירה קו ונקודה בדרך מסוימת, אבל כפי שנראה, "נקודה" ו"קו ישר" יכולים להיות מוגדרים גם בדרכים אחרות. גם כאשר ההגדרות שונות, על הנקודה והקו לקיים אקסיומות מסוימות. למשל, נרצה שכל שתי נקודות יהיו ניתנות לחיבור באמצעות קטע ישר אחד בלבד, ושתהיה רק דרך אחת להמשיך קטע נתון לקו ישר, כמו בגאומטריה האוקלידית.

אחת הגאומטריות הלא-אוקלידיות התגלתה (או הומצאה) במאה ה-19 על ידי המתמטיקאי הרוסי לובצ'בסקי, ובאופן בלתי תלוי גם על ידי המתמטיקאי ההונגרי בולאי. הם הראו שנקבל גאומטריה שונה אם נחליף את האקסיומה החמישית באקסיומה הבאה:
"בהינתן קו ישר ונקודה שנמצאת מחוץ לו, יש לפחות שני קווים שונים אשר עוברים דרך הנקודה ואינם נחתכים עם הקו הנתון.” (למעשה, מתברר שיש לא רק שניים, אלא אינסוף קווים כאלה). גאומטריה זו נקראת גאומטריה היפרבולית.

אבל איך נדע שאכן יש מבנה המקיים את ארבע האקסיומות הראשונות ואת החמישית החלופית, ולא סתם המצאנו אקסיומה? נציג דוגמה מפורשת ושמה מודל העיגול של פּוּאָנְקַרֶה [4, 5]: במקום להשתמש במישור כולו ניקח עיגול, והוא יהיה העולם שבו הכול מתרחש. ״נקודות״ הן נקודות רגילות בתוך העיגול, אך לא על השפה; "קווים ישרים" יכולים להיות משני סוגים: (א) ישרים כמו אלה המוכרים לנו מן הגאומטריה האוקלידית, שעוברים במרכז העיגול, ו-(ב) קשתות של מעגלים החותכות את העיגול שלנו בזווית בת 90 מעלות.

רגע, מה זו בכלל זווית בין שתי קשתות מעגל? נתבונן בישרים המשיקים לקשתות ה בנקודת החיתוך שלהן. הזווית בין שתי קשתות מוגדרת כזווית שבין הישרים המשיקים להן בנקודת החיתוך, אז "ישר" מסוג (ב) הוא קשת של מעגל שהמשיק לה בנקודת החיתוך עם העיגול הכולל מאונך למשיק של העיגול (ראו איור 1).
הביטו בהדפס Circle Limit III של אֶשֶׁר בתמונת הפוסט – הקווים הלבנים שבו הם "ישרים"!

איור 1: דוגמה ל"ישרים"

נחזור לאקסיומה החמישית של הגאומטריה ההיפרבולית: באיור 2 נראים "ישר" כחול ונקודה מחוצה. הקווים השחורים הרבים שעוברים דרך הנקודה הם ישרים על פי הגדרתם בגאומטריה זו, והם אינם נחתכים עם ה"ישר" הכחול. האם תוכלו למצוא דוגמה למבנה דומה בהדפס של אשר?

איור 2: כל ה"ישרים" השחורים, שעוברים דרך נקודה אחת, מקבילים ל"ישר" הכחול.

כדי להכיר טוב יותר את הגיאומטריה ההיפרבולית נבחן גם איך נראים בה משולשים, ונגלה שסכום הזוויות במשולש אינו 180 מעלות!

משולש הוא שלוש נקודות המחוברות ביניהן ב"ישרים”. מהן הזוויות במשולש? אם מדובר בקווים ישרים באמת, הזווית נמדדת כרגיל, וזווית בין שתי קשתות מעגל היא הזווית שבין הישרים המשיקים הן בנקודת החיתוך. איור 3 מציג דוגמה למשולש היפרבולי. חפשו משולשים וזוויות בהדפס של אשר.

איור 3: משולש היפרבולי

עתה נוסיף את האפשרות לקיומם של משולשים שלהם קודקוד אחד או יותר אשר נמצאים על שפת העיגול. משולשים כאלה נקראים משולשים מוכללים. (ראו איור 4).

איור 4: משולשים מוכללים

מהו גודל זווית המשולש בקודקוד שעל השפה? כל אחת משתי צלעות המשולש שנחתכות בקודקוד שעל השפה, בהיותה "ישר", יוצרת זווית בת 90 מעלות עם השפה, לכן לשתי הצלעות אותו משיק – המאונך לשפה בנקודת החיתוך. מכאן שגודל הזווית שבין שתי צלעות כאלה הוא אפס, ואם במשולש המוכלל כל הקודקודים על השפה, אזי כל הזוויות שלו גודלן אפס!
(הקו האדום באיור הוא משיק לשני ה"ישרים". במשולש הירוק ובמשולש הוורוד כל הזוויות שוות לאפס.)

לסיכום, למדנו על גאומטריה משונה, שבה יכולים לעבור אינסוף מקבילים לישר דרך נקודה מחוץ לו, וסכום הזוויות במשולש קטן מ-180 מעלות, אינו קבוע ואף יכול להיות שווה לאפס. נציין שגם המרחקים בעיגול שלנו אינם רגילים. למשל, המרחק בין מרכז העיגול לכל נקודה על השפה מוגדר אינסופי. תכונה זו מוזכרת במילים שבהן מתאר אֶשֶׁר את ההדפס, על הדגים שפורצים משפת העיגול במאונך לה, מן האינסוף, וחוזרים אל המקום שממנו באו [6, 7]:

As all these strings of fish shoot up like rockets
from infinitely far away, perpendicularly from the
,boundary, and fall back again whence they came
.not one single component ever reaches the edge

תמונת הפוסט מבוססת על Circle Limit III by M. C. Escher (1959), via mcescher.com.

עריכה: סמדר רבן

מקורות והרחבות:

[1] על "יסודות" של אוקלידס

[2] על חשיבות "יסודות" במהלך ההיסטוריה (באנגלית)

[3] "יסודות" בגרסת אונליין מחודשת

[4] מודל העיגול של פואנקרה (באנגלית)

[5] ספר לימוד על גאומטריה לא-אוקלידית

[6] על סימטריה לא-אוקלידית ב-Circle Limit III

[7] על האומן מאוריץ קורנליס אֶשֶר

לקריאה נוספת: על גיאומטריה לא-אוקלידית ותורת היחסות הכללית – פוסט במדע גדול, בקטנה