הולך בטל, הולך
14/07/2021
לעיתים, סיפורים המבוססים על סיטואציות מהחיים יכולים לתת השראה לפיתוחים פורצי דרך. נתאר כאן שלושה סיפורים דמיוניים על שיכורים, שמדגימים נושאים בתחום "הילוכים אקראיים" במתמטיקה.
מאת דורון אורנשטיין, בשיתוף עם נצה מובשוביץ-הדר, ידידת העמותה
סיפור ראשון: ידידנו יוצא שיכור מפאב וצועד על שביל בחשכה. בכל שנייה הוא פוסע אקראית מטר אחד מזרחה או מטר אחד מערבה. איפה נמצא אותו, למשל, אחרי שלוש שניות? אפשרות אחת היא שהוא יגיע שלושה מטרים מזרחה ליציאה מהפאב. בדרכו הוא יבצע שלוש בחירות אקראיות, כל אחת מהן בהסתברות 1/2, ולכן ההסתברות לכך היא 1/2 בחזקת שלוש, דהיינו 1/8.
אפשרות דומה מאוד ובעלת אותה הסתברות היא שהוא יימצא שלושה מטרים מערבה ליציאה מהפאב. עוד אפשרות היא שנמצא אותו מטר אחד מערבה, אם הלך פעמיים מערבה ופעם אחת מזרחה. מכיוון שיש שלוש דרכים לכך, ההסתברות היא 3/8, וזאת גם ההסתברות שהוא יימצא מטר אחד מזרחה לנקודת המוצא. אין עוד אפשרויות.
לפיכך, טבלת ההסתברויות ממזרח למערב היא (1/8, 3/8, 3/8, 1/8) ורוב הסיכויים הם שנמצא אותו במרחק של מטר מהפאב.
עבור זמן N גדול, ההתפלגות הופכת להתפלגות הנורמלית (בצורת פעמון) כאשר סטיית התקן, המדד למידת פיזור, היא בקירוב שורש N. למשל, אחרי 100 שניות, השיכור שלנו יכול להימצא 100 מטר מזרחה או מערבה, אבל רוב הסיכויים שנמצא אותו עד עשרה מטרים מנקודת המוצא (=סטיית תקן אחת). אכן, כדאי ללמוד הסתברות ולו רק כדי לאתר חברים שיכורים בחושך.
בעיה פשוטה זו, הנקראת "הילוך אקראי" [1], הוצגה על ידי המתמטיקאי האנגלי קארל פירסון ב-1905, והובילה לאוסף עצום של בעיות דומות והרחבות שונות. ניתן להרחיב את הבעיה בצורות רבות, למשל באמצעות הנחות שונות על גודל הצעד, הליכה במישור, בתלת־ממד או בתוך מבנה רשת וכולי. חלק מהבעיות נועדו לגרות את סקרנותם של המתמטיקאים ולשעשע אותם, אולם לחלקן נמצאו שימושים חשובים בתחומים שונים: כלכלה, פיזיקה, ביולוגיה, ניתוח רשתות מחשבים ועוד.
טענה מרכזית בעולם הפיננסים היא שמחיר מניות מתנהג במידה מסוימת כמו הילוכים אקראיים, אבל באופן מתוחכם יותר [2] (למשל מודל CAPM). בנוסף, אפשר גם לדמות את הסיטואציה שלנו לבעיית מהמר, שלפי תוצאת הטלת מטבע מרוויח או מפסיד שקל (=הולך ימינה או שמאלה). תוכלו לראות דוגמה יפה לניתוח בעיה כזאת וגם אחרות במצגת "הבזקים מתמטיים" [3].
סיפור שני: אתם מחליטים להישאר בפאב כדי לחכות שחברכם יחזור לשם ושואלים: עד מתי נחכה? המתמטיקאי ג'ורג' פוליה חקר את הנושא עוד בשנת 1921 וגילה שאם נחכה מספיק זמן, שיכול להיות רב מאוד אבל סופי, השיכור יחזור לפאב. גם אם ילך בשטח פתוח, ובכל שנייה יחליט אם ללכת צעד מזרחה, מערבה, צפונה או דרומה, לבסוף הוא ישוב בחזרה. אולם ג'ורג' פוליה גילה עוד תופעה מעניינת: בתנועה במרחב התלת־ממדי אין ביטחון לחזרה למוצא. למשל, ציפור מבולבלת, שבנוסף לתנועה אקראית במישור נעה גם אקראית למעלה או למטה, לא מובטח לה שתחזור לקן.
אחד השימושים המרשימים בבעיית השיכור הוא בפיתוח משוואת הדיפוזיה בפיזיקה [4]. הפיזיקאים אינם מתעניינים בשיכור אחד (=חלקיק בודד) אלא כיצד חלקיקים רבים מצטופפים יחדיו. לכן הבעיה הופכת לבעיית צפיפות שיכורים.
אזהרה: הסיפור הבא נהיה קצת מתמטי ו... מסריח מאוד:
סיפור שלישי: אתם עומדים על השביל בזמן t במרחק x מטרים מהפאב. הרבה שיכורים מצטופפים סביבכם וריח אלכוהול וצחנת קיא נישאים ברוח. מטריד אתכם מאוד: כמה שיכורים בממוצע נצמדים אליכם בכל שנייה בקטע שגודלו מטר, שזה (N(x,t?
כך נחשב: מספר השיכורים בשנייה הבאה (N(x,t+1 הוא מחצית ממספר השיכורים ממזרח לכם (N(x+1,t, דהיינו כל אלו שהחליטו לנוע מערבה, וכנ"ל חצי מאלו ממערב (N(x-1,t. ניתן לכתוב את הסכום הזה בצורה שנראית מסורבלת אבל בעלת משמעות רבה:
N(x,t+1)-N(x,t) = ½ ((N(x+1,t)-N(x,t))–((N(x,t)-N(x-1,t)))
לפני שנפרט, הרי תזכורת: בעולם הסדרות מגדירים את הסדרה שהיא ההפרש בין איברים עוקבים של סדרה אחרת בשם נגזרת הסדרה, ואת ההפרש בין איברים עוקבים בסדרת הנגזרת בתור הנגזרת השנייה של הסדרה. המשוואה שהתקבלה היא שהנגזרת בזמן, מידת השינוי של מספר השיכורים בזמן, היא מחצית הנגזרת השנייה של מספר השיכורים ביחס למיקום.
נניח שאתם נמצאים במקום ללא שיכורים, אבל מטר מזרחה יש ארבעה שיכורים, ומטר מערבה יש שני שיכורים. הנגזרת השנייה ביחס למקום היא הפרש ההפרשים (4-0) פחות (0-2), כלומר 6. לפי המשוואה, הנגזרת ביחס לזמן היא 6 חלקי 2, כלומר 3, ולכן בשנייה הבאה סביר שייצמדו אליכם בממוצע שלושה שיכורים. איכס!
אם נעבור לזמנים קצרים ומרחקים קטנים, ונשתמש בחשבון דיפרנציאלי, נקבל משוואה דומה, שהיא המשוואה הדיפרנציאלית של הדיפוזיה, אחת המשוואות המרכזיות בפיזיקה. מכאן תוכלו להסיק שמולקולות מתנהגות כמו שיכורות, וגם תוכלו להירגע: בדומה לתופעת הדיפוזיה, שבה מולקולות נעות ממקום עם ריכוז גבוה למקום עם ריכוז נמוך, כך גם השיכורים יתפזרו בהדרגה לאורך השביל ויוקל לכם לבסוף.
אכן, לעיתים הסתכלות על תופעות יום-יומיות וניסיון למדל אותן מתמטית יכולים להעניק השראה ולדחוף לפיתוחים חכמים. בנוסף, תופעות יום־יומיות יכולות לאפשר לנו להסביר בפשטות תופעות מורכבות, כפי שניסינו לעשות, והכול בזכות ידידנו השיכור שהולך בטל. "פעם צעד לא בטוח, פעם צעד כן."
נצה מובשוביץ-הדר היא פרופסור אמריטה למתמטיקה בטכניון.
עריכה: גליה הלוי שדה
מקורות והרחבות:
[1] הילוך אקראי
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
מהנדס מחשבים, חוקר ויזם בתחום החינוך המתמטי.
