כאשר עורכים חישובים בפיזיקה צריכים לפעמים לסכוֹם את כל המספרים הטבעיים, כלומר את כל המספרים השלמים החיוביים. התשובה היא לכאורה אינסוף, אבל אפשר לתת לטור הזה משמעות סופית, והתשובה היא שסכום הטור הוא מינוס 1/12. זהו לא תעלול במתמטיקה, אלא שוויון עם משמעות חשובה בפיזיקה, שכן קיימים אפקטים מדידים במעבדה הקשורים לסכום הטור זה.

כאשר היינו ילדים קטנים שיחקנו במשחק: מהו המספר השלם הגדול ביותר? היום אנחנו יודעים שאין דבר כזה. יש אינסוף מספרים שלמים חיוביים. אז מה קורה אם ננסה לחבר את כולם? התשובה היא אינסוף, כמובן. האמנם?

לא בדיוק: ניתן לתת משמעות לסכום הטור הזה והתשובה המפתיעה היא שהתוצאה היא מינוס אחד חלקי 12!

כיצד ייתכן הדבר? צריך לתת לסכום הטור הגדרה מסוימת, ועל פי ההגדרה הזאת מתקבלת התוצאה המפתיעה, מינוס 1/12. במקום לעסוק במתמטיקה של הטור הזה, אפנה אתכם לגדי אלכסנדרוביץ׳, שכתב על כך פוסט מצוין בבלוג שלו [1]. 

מטרת הפוסט הנוכחי היא לספר לכם שההגדרה המתמטית היא כל-כך טבעית שהיא ממש מאוששת נסיונית בטבע, כלומר גם הטבע עצמו סבור שכאשר מסכמים את כל המספרים הטבעיים התשובה היא מינוס 1/12. הכיצד?

דמיינו לכם שאתם פורטים על מיתרי גיטרה. המיתרים קשורים בקצותיהם ולכן, כאשר פורטים על המיתרים, נוצרים בהם גלים הנקראים "גלים עומדים", כפי שמתואר באיור המצורף:

הגלים העומדים הנוצרים בגיטרה, ההרמוניות של כל מיתר, הם בעלי תדר הולך וגדל, כפולה שלמה של התדר היסודי (שנקבע לפי אורך המיתר, המתח שלו וצפיפות החומר שלו). נניח לשם המחשה שכל אחד מהתדרים תורם לאנרגיית המיתר, והיינו צריכים לסכום את כל התדרים האפשריים שמתקיימים בגיטרה, אזי היינו צריכים לסכום את הטור ...1+2+3+ עד אינסוף. 

במקרה של הגיטרה התדרים אינם תורמים לאנרגיה כמתואר לעיל, אולם כפי שנראה מיד, בדוגמאות אחרות בטבע כל אחד מהתדרים תורם תרומה לאנרגיה ובשל כך הוא גורם לכוח דחייה בין גופים. כאשר מסכמים את אינסוף התרומות מקבלים כוח משיכה.

דוגמה ראשונה להופעת הטור הזה בטבע הוא "אפקט קאזימיר", שעליו כתבנו בעבר [2]. מתברר שאם מציבים שני לוחות מוארקים זה מול זה מתקיים כוח משיכה ביניהם. מקור הכוח הוא אנרגיית הריק, הקשורה לסכום הטור הנ״ל (החישוב טיפה יותר מורכב, כי כאן מדובר בשלושה ממדי מרחב, ולא על מימד אחד כמו בגיטרה). נסו לדמיין שבין הלוחות מתקיימים כל התדרים האפשריים של גלים אלקטרומגנטים, כמו הגלים במיתרי הגיטרה. כל אחד מהתדרים גורם לכוח דחייה בין הלוחות, אולם כאשר מסכמים את כל אינסוף התרומות בגין כל התדרים מתקבל כוח משיכה!

כוח קאזימיר נמדד במעבדה כבר בשנת 1958, ושיעורו וכן היותו כוח מושך אוששו במהלך השנים [3]. לפי תוצאות הניסוי, הטבע אוהב את ההגדרה שבה סכום המספרים הטבעיים הוא מינוס 1/12.

קיימת דוגמה נוספת הדומה אף יותר למה שקורה במיתרי הגיטרה. קיימים בטבע חלקיקי יסוד הנקראים ״קווארקים״. אם מציבים זה ליד זה קווארק ואנטי-קווארק נמתח ביניהם מעין מיתר. תורת המיתרים עוסקת בין השאר במהותו ובתכונותיו של המיתר הזה.

המיתר המתוח בין הקוורק לאנטי-קוורק יכול לרטוט בתדרים שונים, שהם כפולה שלמה של התדר היסודי, בדומה לתדרים במיתר הגיטרה. כל גל עומד נושא אנרגיה, וסך כל האנרגיה מתקבל בעזרת סכום הטור שבו אנו דנים.

הפיזיקאי השויצרי מרטין לושר העלה את ההשערה שלכן קיים כוח בין זוג הקוורקים, כוח המכונה היום ״כוח לושר״. נחשו מה התוצאה? מינוס 1/12 כפול אחד חלקי המרחק בין הקוורקים בריבוע. כלומר כוח משיכה שגודלו ניתן לחישוב מדויק ושאפשר להשוות אותו בעיקרון למה שמתקיים בטבע.

בפועל קשה לאשש את תוצאת החישוב של לושר בעזרת תצפית ישירה בטבע, אולם בעזרת סימולציות מחשב אפשר למדוד את הכוחות בין הקוורקים. סימולציות המחשב נעשות בעזרת טכניקה הידועה יותר מ-40 שנה שנקראת ״תורת השדות על הסריג״. בשיטה זאת ״פותרים״ את התורה המסובכת של הכוח החזק בעזרת מחשבים רבי עוצמה. הסימולציות נחשבות אמינות, שכן הן מניבות תכונות נוספות רבות של מערכות של קוורקים שניתן להשוות לטבע, למשל חישוב מסות של חלקיקים הקיימים בטבע. לפיכך אפשר לראות בסימולציות המחשב מעין ניסוי או מעבדה שבהם ניתן לבחון רעיונות תאורטיים. סימולציות המחשב אוששו את השערתו של לושר בדבר כוח המשיכה בין הקוורקים.

לסיכום, אספר לכם על שימוש נוסף של סכום הטור הזה בפיזיקה תאורטית. כאשר דנים באנרגיית הריק במסגרת תורת המיתרים נתקלים בטור הנפלא שבו אנו דנים. הטור גורם לקשיים מתמטיים בתורת המיתרים, אלא אם כן ליקום 26 ממדים. המספר 26 מתקבל מאחר שבמהלך החישוב צריך להחסיר שני ממדים ולחלק לשניים. התוצאה היא המספר 12, הקשור לאותו ה-12 שמקורו בסכום הטור.

הערות והרחבות:

[1] https://gadial.net/2014/01/18/sum_of_naturals/

[2] https://www.facebook.com/MadaGB/posts/785727094919425:0

[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Casimir_effect