במשחק הקלפים דאבל מופיעים על כל קלף שמונה ציורים, ולכל שני קלפים יש בדיוק ציור אחד משותף. שחקני דאבל רבים תוהים איך תוכננו הקלפים כך שתתקיים התכונה הזו? נספר על המתמטיקה המרתקת מאחורי המשחק ועל שאלות פתוחות בנושא.

המשחק דאבל [1] (Dobble, הידוע גם כ- Spot it) מורכב מקלפים עגולים, כשעל כל קלף מופיעים שמונה ציורים חביבים. לקלפים יש את התכונה המופלאה: לכל שניים מהם יש בדיוק ציור אחד משותף.

מטרת המשחק היא לזהות במהירות מהו הציור המשותף לשני קלפים המונחים פתוחים. אולם, שחקני דאבל רבים מסתקרנים מהאופן שבו בנויים הקלפים. איך מבטיחים שבאמת לכל שני קלפים יש ציור אחד משותף?

ראשית נראה שקל לבנות חבילת קלפים העונה על התנאי: נבחר ציור מסוים, למשל גמל, ונצייר אותו על כל הקלפים. לאחר מכן, על כל קלף נצייר שבעה ציורים חדשים. 

אבל אז נקבל משחק משעמם - הציור המשותף הוא תמיד גמל.

התכונה שהופכת את דאבל למעניין היא הבאה: לא רק שכל שני קלפים חולקים בדיוק ציור אחד, אלא שכל ציור הוא משותף לפחות לזוג אחד. עכשיו כבר לא כל כך ברור איך בונים חפיסת קלפים העונה על התנאים.

ברוח המתמטיקה, הדבר הראשון שנעשה הוא להסתכל על בעיה קטנה יותר: נניח שעל כל קלף יש רק שני ציורים. האם אפשר אז לבנות חבילת דאבל? ובכן, קל לבנות חבילה עם שלושה קלפים, על ידי סידור הציורים במשולש, כך:

ואז כל קו מייצג קלף. אולם אם ננסה לבנות חפיסת קלפים על בסיס של יותר משלושה ציורים נתקשה להמשיך.

הבנייה מאחורי דאבל מתבססת על תחום שנקרא "גיאומטריה פרויקטיבית סופית" (Finite Projective Geometry). על קצה המזלג, גיאומטריה פרויקטיבית שואלת מה קורה אם נאמר שקווים מקבילים נפגשים בנקודה אי-שם באופק שנקראת "אינסוף", ומה קורה אם נתייחס לנקודה הזו כנקודה רגילה לכל דבר? מתברר שמתקבלת מתמטיקה מעניינת, המאפשרת בין השאר לבנות חפיסות דאבל.

חשבו על דאבל באופן הבא: נניח שיש שלושה ציורים על כל קלף. אפשר לחשוב על כל ציור בתור "נקודה", ועל קלף בתור אוסף של שלוש נקודות שנקרא לו "קו". חוקי דאבל אומרים שכל שני קווים נפגשים בדיוק בנקודה אחת (ובפרט, אין דבר כזה "קווים מקבילים" שאינם נחתכים). בנוסף, התכונה שהצגנו בהתחלה אומרת שכל נקודה נמצאת לפחות על שני קווים. 

גיאומטריה פרויקטיבית סופית מספקת לנו אובייקט מתמטי שיש לו את התכונות האלו. הוא נקרא "מישור פאנו" [2], להלן:

בציור אפשר לראות שכל קו עובר בדיוק ב-3 נקודות, וכל נקודה משותפת בדיוק ל-3 קווים (שימו לב שהמעגל הירוק גם הוא קו).

ניתן לתרגם את הציור הזה לקלפי דאבל בקלות, על ידי התאמת כל נקודה לציור, וכל קו לקלף, כך:

מישור פאנו הוא מקרה פרטי (עבור N=2) של אובייקט הקרוי "מישור פרויקטיבי סופי מדרגה N" - זהו אוסף של נקודות וקווים, כשכל קו מכיל בדיוק N+1 נקודות, כל נקודה משותפת לבדיוק N+1 קווים, כל שני קווים נפגשים בדיוק בנקודה אחת, ודרך כל שתי נקודות עובר קו יחיד (ומכאן לא קשה להוכיח שמספר הנקודות, ששווה גם למספר הקווים, הוא N^2+N+1).

אז יופי - כל מה שצריך כדי לבנות חבילת דאבל עם שמונה ציורים בכל קלף הוא מישור פרויקטיבי מדרגה 7.

למזלנו אנחנו יודעים לבנות זאת, ואכן זו הבנייה מאחורי דאבל, עם הבדל קטן: בדאבל יש 55 קלפים, בעוד שבמישור הנ"ל יש 57 קווים. כלומר היה אפשר להוסיף לדאבל עוד שני קלפים. למה הורידו שניים? לא ברור.

יש גם גרסת דאבל לילדים, עם שישה ציורים בכל קלף, המתבססת על מישור פרויקטיבי מדרגה 5. קצת קשה לצייר את האובייקטים האלו. המתעניינים מוזמנים לצפות בהדגמה [3].

ומה לגבי גרסת ביניים, עם שבעה ציורים למשל? לשם כך אנחנו צריכים מישור פרויקטיבי מדרגה 6. אך אבוי - אין! מתברר שפשוט אי אפשר לבנות אובייקט כזה. התוצאה המפתיעה הזו הוכחה רק ב-1949 [4], אחרי לא מעט נסיונות לבנות מישורים פרויקטיבים מדרגות שונות. למעשה הוכח קריטריון יותר כללי לדרגות שעבורן אין מישור פרויקטיבי.

מאידך, עוד בשנת 1906 [5] הוכח שיש מישור פרויקטיבי לכל דרגה שהיא חזקה של מספר ראשוני (בפרט, 2, 5 ו-7 שהוצגו לעיל, וגם למשל 11).

והנה הגענו לחזית המתמטיקה: האם יש מישור פרויקטיבי מדרגה 10? השאלה הזו העסיקה חוקרים במשך שנים רבות. ב-1991 הצליחו חוקרים [6] להראות בעזרת מחשב, שבדק המוני אפשרויות בצורה מתוחכמת, שאין מישור פרויקטיבי מסדר 10. אולם הוכחות בעזרת מחשב הן שנויות במחלוקת, ועדיין אין בידינו הוכחה אחרת.

ומה עם מישור פרויקטיבי מדרגה 12? לא יודעים. החשד הוא שאין, אבל אפילו בעזרת מחשבים אנחנו לא מסוגלים כרגע לבדוק זאת. אז תשכחו מלוחות דאבל עם 13 ציורים בינתיים!

לגיאומטריה פרויקטיבית ישנם שימושים רבים מלבד יצירת משחקי קלפים. למשל בראייה חישובית - כדי להציג עולם תלת-ממדי בצורה דו-ממדית, וכמו כן בתורת הקודים, בהצפנה, בתורת המספרים, בתורת החבורות ועוד [7].

עריכה: ינון קחטן

הערות והרחבות:

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Dobble

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Fano_plane

[3] https://demonstrations.wolfram.com/ProjectivePlanesOfLowOrder/

[4] Bruck, R. H., & Ryser, H. J. (1949). The nonexistence of certain finite projective planes. Canadian Journal of Mathematics, 1(1), 88-93.

[5] Veblen, O., & Bussey, W. H. (1906). Finite projective geometries. Transactions of the American mathematical society, 7(2), 241-259.

[6] Lam, C. W. (1991). The search for a finite projective plane of order 10. The American mathematical monthly, 98(4), 305-318.

[7] Hirschfeld, J. W., & Thas, J. A. (2015). Open problems in finite projective spaces. Finite Fields and Their Applications, 32, 44-81.