אף שאנו חווים את העולם בתלת-ממד, לממדים גבוהים יותר יש שימושים רבים. נראה דוגמה לתופעה מוזרה שמתרחשת בממדים גבוהים – כדורים מתנהגים כאילו יש להם קוצים.

אלה מאיתנו שאינם פיזיקאים של תורת המיתרים, כלומר – רובנו, תופסים את העולם כתלת-ממדי. לעיתים אנחנו מתייחסים אל הזמן כאל ממד רביעי, וכבר אז אנו מתחילים להתבלבל. למשל: איך נראה "כדור ארבעה-ממדי"?

כנראה, עבור רובנו ארבעה ממדים הם הגבול העליון של יכולת הדמיון. עם זאת, יש חשיבות למערכות שבהן מספר גדול יותר של ממדים: ראשית, יש תיאוריות פיזיקליות המסבירות תופעות חשובות, שלפיהן יש ביקום שלנו יותר מארבעה ממדים [1]. בנוסף, אמנם לא נראה שיש לנו צורך ביותר משלושה ממדים לתיאור של מרחב, אבל למטרות אחרות כן נצטרך ממדים נוספים. לדוגמה, דמיינו שאתם רוצים להמליץ לחברים על מסעדה (קודם דמיינו שהמסעדות חזרו לפעול לאחר הקורונה), ולשם כך עליכם לדרג מסעדה כלשהי לפי כמה מאפיינים, למשל – טעם האוכל, זמן ההמתנה, עיצוב המקום, רעש ומחיר. לכל אחד מחמשת המאפיינים אתם נותנים ציון בין 1 ל-10, והינה אנחנו מוצאים את עצמנו במרחב חמישה-ממדי, שבו כל ממד מייצג מאפיין.
למה נרצה לייצג את המידע  באמצעות מרחב רב-ממדי? למשל, כדי למדוד עד כמה מסעדה "קרובה" (בחמישה ממדים, לפי המאפיינים שהגדרנו) להעדפות של חבריכם.

אם כך, כדאי לנסות להבין מה קורה בממדים גבוהים. ניקח צורה פשוטה למדי – כדור, ונשאל את עצמנו: איך נראה כדור בממדים גבוהים?
ראשית, מהו כדור? על פי ההגדרה המתמטית, כדור הוא אוסף הנקודות שנמצאות במרחק שווה מנקודה נתונה. הנקודה היא מרכז הכדור, ומרחק הנקודות ממנה הוא הרדיוס. במישור, שהוא מערכת דו-ממדית, הגדרה זו מתארת מעגל. במרחב התלת-ממדי מתארת ההגדרה מעטפת כדור, ואנחנו יכולים להרחיב אותה גם לממדים גבוהים יותר.

כעת נערוך ניסוי חביב (ראו איור 1). על המישור הדו-ממדי המוכר בשמו העממי "דף נייר" נצייר ריבוע שאורך צלעו ארבעה סנטימטרים, ובתוכו נשרטט ארבעה מעגלים שרדיוס כל אחד מהם סנטימטר אחד (המעגלים האדומים באיור). באזור הריק שנשאר באמצע הריבוע "ננפח" מעגל נוסף, עד שייגע בכל ארבעת המעגלים (העיגול הירוק באיור). מהו רדיוס העיגול שניפחנו? חישוב לא מסובך מראה שהרדיוס הוא שורש 2 פחות 1, כלומר 0.41 בערך. (למתעניינים, אפשר לראות את החישוב ואת הניסוי כאן: [2], [3]).

איור 1: הניסוי בדו-ממד

אוקיי, עד כאן לא קרה שום דבר מרתק.
עכשיו נחזור על הניסוי בשלושה ממדים: ניקח קובייה שאורך כל אחת מצלעותיה ארבעה סנטימטרים, ונמקם בה שמונה כדורים ברדיוס סנטימטר אחד. שוב נשאר מקום ריק באמצע, והפעם ננפח בו כדור (ראו איור 2).
חישוב דומה מאוד לזה שעשינו במקרה הדו-ממדי מראה שהרדיוס של הכדור הפנימי הוא שורש 3 פחות 1, כלומר בערך 0.73. עדיין לא קרה שום דבר מרתק.

איור 2: הניסוי בתלת-ממד

מה קורה במערכת של ארבעה ממדים או יותר? כאן ניאלץ לזנוח את הציור, אבל החישוב המתמטי עדיין תקף. מתברר שבכל מערכת, הרדיוס של הכדור הפנימי הוא שורש של מספר הממדים פחות 1.

חדי העין יפלו מהכיסא בתדהמה בשלב זה, אבל לאלה שעדיין יושבים – הבה נראה מה פירוש הדבר: בארבעה ממדים נקבל שהרדיוס של הכדור הפנימי הוא 1. בחמישה ממדים יהיה רדיוס הכדור הפנימי 1.23 בערך, בשישה ממדים – 1.44, בשבעה ממדים – 1.64, בשמונה – 1.82, בתשעה – 2, בעשרה ממדים יהיה רדיוס הכדור הפנימי 2.16… אבל רגע! בתשעה ממדים הרדיוס שווה ל-2?! פירוש הדבר הוא שהכדור הפנימי, זה שניפחנו ברווח שבין הכדורים האחרים, נוגע בדפנות של הקובייה, וגרוע מכך – בעשרה ממדים הכדור הפנימי יוצא מתוך הקובייה!

עכשיו כולם יכולים ליפול מהכיסא. קמתם? יופי.

אז מה קרה פה בעצם? אם נתבונן במערכת התלת ממדית נראה שהכדור הפנימי צריך להשתחל בין הכדורים החוסמים כדי להגיע לדפנות הקובייה. לפיכך, נראה שבממדים גבוהים הכדור שניפחנו שלח מעין זרועות או קוצים, שהשתחלו בין הכדורים האחרים בקובייה הרב-ממדית, ויצאו ממנה. אולם, זה תיאור שמותאם לתפיסה התלת-ממדית שלנו, וכפי שהדוגמה לעיל מראה, התפיסה הזו פשוט לא מתאימה בממדים גבוהים. אנחנו לא מבינים איך "נראים" ממדים גבוהים. למעשה, איננו יכולים להגיד שקרה משהו בכלל. פשוט עשינו חישוב מתמטי, וזו התוצאה שקיבלנו. מה שאפשר לומר הוא שהכדור היפה והפשוט שאנחנו מכירים נעשה מוזר מאוד בממדים גבוהים.
נעיר שהתופעה שתיארנו אינה לחלוטין מסתורית. למשל, אפשר לחשב ולראות שבממדים גבוהים הנפח של הכדור המנופח גדול במידה משמעותית מהנפח הכולל של הכדורים המשיקים, מה שנותן מעט אינטואיציה לגבי המערכת.

הדוגמה החביבה שהצגנו כאן ממחישה את הקושי להבין ולנתח מידע מממדים גבוהים. למעשה, הקושי הזה כל כך מפורסם, עד שהוא זכה לשם "קללת הממדיות" [4] (the curse of dimensionality), ויש טכניקות רבות שבאמצעותן מנסים מדענים להתמודד איתו.

מקורות והרחבות:

[1] פוסט על ריבוי הממדים של היקום - מדע גדול, בקטנה

[2] סרטון המראה את הניסוי שלנו ומציג את החישובים

[3] סרטון הממחיש את המשמעות המתמטית של כדור רב-ממדי

[4] על קללת הממדיות