איפה הדודה?
30/03/2021
טכנולוגיות רבות המסייעות לאיתור אנשים ולמעקב אחריהם מבוססות על שיטות גאומטריות פשוטות – טריאנגולציה וטריאלטרציה. נסביר בעזרת דוגמאות.
נדמיין שדודה שלנו מבקשת לנהוג במכוניתנו למסיבת טבע לילית. אנו נותנים לה את המכונית בחשש, ורוצים לאתר על המפה את מיקומה, בלי ידיעתה. כיצד אפשר לעשות זאת?
זו התוכנית: נצא לשטח בחשאי, נתמקם בנקודת תצפית אחת, ונמקם את חברנו בנקודת תצפית נוספת, קילומטר אחד מזרחה מאיתנו. בחצות מתחילה המסיבה – האורות נדלקים ונורים זיקוקים. באמצעות מצפן (זוכרים מה זה?) נמדוד את הזווית שבה נראים אורות המסיבה ביחס לקו המחבר בין מזרח למערב. גם חברנו ימדוד את הזווית שבה נראים האורות מהמקום שבו הוא נמצא. כעת נפרוס על הקרקע מפה טופוגרפית, נסמן עליה את מיקומנו, ובעזרת מד זווית נשרטט קו ישר שעובר דרך מיקום זה והשיפוע שלו מתאים לזווית שמדדנו. נסמן גם את מיקום החבר, ונשרטט קו שעובר דרך מיקום זה ושיפועו מתאים לזווית שמדד החבר. נקודת החיתוך של שני הקווים על המפה מראה את מיקום המסיבה! בלשון מתמטיקאים: בנינו על המפה משולש בהינתן אורך צלע ושתי זוויות הצמודות לצלע, הדומה מבחינה גאומטרית למשולש שבשטח. השיטה של בניית משולש על מפה באמצעות חיתוך שני קווים נקראת טריאנגולציה ("שילוש") [1], והיא משמשת בניווט ובהנדסה, למשל במכשירים למדידת מרחקים.
אולם התוכנית השתבשה: בשל ערפל סמיך אי-אפשר לראות את האורות בבירור, ורק שומעים קולות. מה לעשות? כשאנו מקשיבים להקלטות בטלפונים, אנו מבחינים שרעש הזיקוק נקלט אצלנו שנייה אחרי חצות, ואצל החבר נקלט הרעש שלוש שניות אחרי חצות. מכיוון שמהירות הקול היא 0.33 קילומטר בשנייה, אנו מסיקים שהמרחק שלנו ממקום המסיבה הוא 0.33 קילומטר, והחבר מרוחק כקילומטר מהמסיבה. מידע זה מאפשר לנו לאתר את מקום המסיבה: נשלוף מחוגה, ונשרטט על המפה עיגול שמרכזו במיקום של החבר והרדיוס שלו שווה לאורך משבצת (המייצגת קילומטר אחד במפה טופוגרפית). סביב מיקומנו נשרטט עיגול בעל רדיוס השווה ל-0.33 משבצת. מיקום המסיבה הוא על נקודת חיתוך של שני המעגלים. אמנם יש שתי נקודות חיתוך, אבל אחת מהן נמצאת מאחורינו, ולכן אפשר לפסול אותה. בלשון המתמטיקאים, בנינו על המפה משולש לפי אורכי שלוש צלעות, שדומה גיאומטרית למשולש שבשטח.
השיטה של חיתוך מעגלים לקביעת מיקום נקראת טריאלטרציה (Trilateration), אם כי במקורות רבים גם היא נקראת טריאנגולציה. שימוש ברעש ירי לזיהוי מקורו נעשה עוד במלחמת העולם הראשונה [2], ומשתמשים בו גם כיום לאיתור מקור ירי באמצעות הצלבת נתונים מהקלטות אודיו שהתקבלו מכמה מצלמות אבטחה. שימוש מעניין בטריאלטרציה הוא בטכנולוגיית GPS, שהיא השיטה המקובלת לאיתור מיקום. כתבנו על שיטה זו בעבר [3]. במקום להשתמש בגלי קול, רכיב GPS, שנמצא כיום בכל טלפון, קולט אותות רדיו הנשלחים מרשת לוויינים המקיפה את כדור הארץ. הרכיב מחשב את מרחקו מכל אחד מן הלוויינים באמצעות מדידת זמני ההגעה של האותות, ומשתמש בטריאלטרציה לקביעת מיקומו. מכיוון שהלוויינים חגים בשמיים, נוסף ממד הגובה לממדי האורך והרוחב שמשמשים אותנו על פני השטח, והשיטה מורחבת לתלת-ממד: ביחס לכל לוויין, הרכיב שבטלפון נמצא על מעטפת כדורית שמרכזה בקואורדינטות מיקום הלוויין ורדיוסה שווה למרחק שלו מהלוויין. בהתאם לכך, מיקום הרכיב הוא בנקודת החיתוך של מעטפות הכדורים השונים. לצורך חישוב מיקומו של רכיב ה-GPS נדרשים נתוני מיקום של ארבעה לוויינים, ובדרך כלל משתמשים בנתונים ממספר גדול יותר של לוויינים, כדי להקטין את שגיאות המדידה.
כדי להשתמש ב-GPS למעקב אחרי הדודה, נטמין בחשאי במכוניתנו מכשיר המכיל רכיב GPS, וגם משדר שישדר לנו את הקואורדינטות שיחושבו. כיום משדרים הטלפונים את מיקומם לענן כל הזמן, ושירותי מפה שונים, כמו זה של גוגל לדוגמה, מאפשרים לעקוב אחר מיקום הטלפון. הפתרון הפשוט הוא להטמין את הטלפון שלנו במכונית, וכך נוכל לבדוק דרך החשבון שלנו במחשב לאן נוסעת הדודה.
מה קורה כשה-GPS בטלפון לא עובד? אפשר לאתר את מיקומו גם באמצעות הרשת הסלולרית. הטלפון שולח בפרקי זמן קבועים אותות המשמשים למציאת תחנת הבסיס הקרובה, והאנטנה בתחנה שקולטת את האות יכולה להעריך לפי עוצמתו את מרחק הטלפון ממנה. בנוסף, מכיוון שהאנטנה היא כיוונית, בדרך כלל בעלת שלוש צלעות שכל אחת מהן קולטת בזווית 120 מעלות, אפשר להעריך גם את הכיוון הכללי של הטלפון. הערכה זו אינה מדויקת, ולכן משתמשים בנתונים מהאנטנות של כמה תחנות, ומבצעים טריאלטרציה בשילוב עם טריאנגולציה. איכון סלולרי כזה אינו זמין לציבור. המשטרה והשב"כ משתמשים בו במצבי חירום, למשל כדי לאתר אנשים שהלכו לאיבוד.
הראינו מספר יישומים של טריאלטרציה וטריאנגולציה לצורך מעקב אחרי דודתנו והמכונית. דרך אגב, המושג טריאנגולציה מציין במתמטיקה גם פעולת חלוקה של מצולע למשולשים [4]. במהלך כתיבת הפוסט גילינו שגם בפסיכולוגיה יש מושג שנקרא טריאנגולציה, והוא משמש לציון קשר עקיף בין אנשים באמצעות צד שלישי. כמו כן, זהו שמה של שיטה לשיפור המהימנות של מחקרים איכותניים באמצעות הצלבה של שלושה ממצאים לפחות. כבודם של אלה במקומו מונח, אולם אנחנו מוקסמים מהיופי, האלגנטיות והתחכום של היישום המתמטי המבוסס על משפטי דמיון משולשים, משפטים שנוסחו על ידי אוקלידס עוד במאה השלישית לפני הספירה.
מקורות והרחבות:
[1] על טריאנגולציה
[2] איכון מקור ירי
[3] פוסט על GPS – מדע גדול, בקטנה
מהנדס מחשבים, חוקר ויזם בתחום החינוך המתמטי.
