בעיות גאומטריות פשוטות לכאורה מימי יוון העתיקה נותרו לא פתורות במשך כאלפיים שנה. רק בתחילת המאה ה-19 התברר שחלקן בלתי פתירות, ונמצאה דרך להוכיח זאת.

היוונים בני העת העתיקה סברו שאפשר לתאר את העולם באמצעות מספרים שלמים (...2-, 1-, 0, 1, 2...) ויחסים בין שלמים (לדוגמה: 3/4, 7/5-, 99/70). מספרים כאלה נקראים מספרים רציונליים [1]. תפיסת עולמם התערערה, כשהתגלה קיומם של מספרים שמופיעים בעולם "באופן טבעי" אך אינם רציונליים. לדוגמה – שורש 2, המבטא את היחס בין האלכסון לאורך הצלע של ריבוע, אינו ניתן לביטוי כיחס בין מספרים שלמים. תוכלו לקרוא על כך ב-[2] וב-[3], בתוספת רכילות היסטורית על השלכת אנשים למים.
משנוכחו החכמים היוונים שאי אפשר להסתפק במספרים רציונליים בלבד, הם הציעו להוסיף לכלים לתיאור העולם גם מספרים הניתנים לבנייה גיאומטרית, וקיוו שאלה יספיקו. הבה נבין מהן בניות גיאומטריות, ננסה את כוחנו בכמה מהן, ונגלה האם הן מאפשרות תיאור שלם של העולם.

אתם מוזמנים ומוזמנות להשתתף במשחק. תזדקקו לדף נייר, עיפרון, סרגל ומחוגה. מטרת המשחק לשרטט צורות גיאומטריות בעזרת הסרגל והמחוגה לפי הכללים הבאים:
בעזרת הסרגל אפשר לשרטט קו ישר המחבר בין שתי נקודות, אך אי אפשר למדוד באמצעותו אורכים. במחוגה אפשר לשרטט מעגלים, ויש לה שימוש נוסף – שכפול מרחקים: על ידי הנחת חודי המחוגה על שתי נקודות נתונות, אפשר "לתפוס" את המרחק ביניהן ולהעתיקו, או לשרטט במקום אחר על הדף מעגל שהרדיוס שלו שווה למרחק בין הנקודות. המשחק שלנו נקרא "בעיות בנייה בסרגל ומחוגה", וכפי שנגלה, בעיות כאלה עשויות להיות מסובכות למדי.

המשימה: שרטטו משולש שווה צלעות בגודל כלשהו.
במשולש כזה כל הצלעות שוות וכל הזוויות בנות 60 מעלות. אילו היו בידינו מד-זווית וסרגל שמאפשר למדוד אורכים, יכולנו לשרטט את המשולש בקלות. אבל איך נעשה זאת רק בעזרת מחוגה וסרגל נטול שנתות? לפני שתמשיכו לקרוא, נסו לפתור את הבעיה בכוחות עצמכם. תוכלו לעקוב אחר דרך הבנייה באיור ובאנימציה.

תחילה נסמן שתי נקודות על הדף, ובעזרת הסרגל נחבר ביניהן בקו ישר. זוהי הצלע הראשונה במשולש שלנו, וקצותיה הם שני קודקודים של המשולש. עתה נמקם את חוד המחוגה על אחד הקודקודים, ונכוון את המפתח בין זרועות המחוגה כך שחוד העיפרון שמחובר אליה מגיע בדיוק לקודקוד השני. נשרטט מעגל שמרכזו בקודקוד הראשון, והרדיוס שלו שווה למרחק בין הנקודות, כלומר לאורך הצלע. הקודקוד השלישי של המשולש צריך להימצא במרחק השווה לאורך הצלע גם מן הקודקוד השני, לכן נשרטט מעגל נוסף בעל אותו רדיוס, שמרכזו בקודקוד השני. המעגלים שלנו נחתכים בשתי נקודות, ושתיהן נמצאות באותו מרחק מן הקודקודים שבהם התחלנו – מרחק השווה לאורך הצלע. בעזרת הסרגל נחבר אחת מן הנקודות לכל אחד משני הקודקודים שהתחלנו מהם, והרי לנו משולש שווה-צלעות!

איור: קרינה סמבליאן

אנימציה: יהונתן פרץ

מהשרטוט שלנו קיבלנו "חינם" בנייה נוספת: שרטוט אנך אמצעי – קו מאונך לקטע נתון, שחותך את הקטע באמצעו בדיוק. למעשה, האנך האמצעי כבר מופיע בשרטוט שלנו: נחבר בין נקודות החיתוך של שני המעגלים, ונקבל קו המאונך לצלע שממנה התחלנו, וחוצה אותה. כך למדנו איך למצוא את אמצע הצלע, וגם איך לבנות זווית בת 90 מעלות במיקום זה (הוסיפו לשרטוט!)

הנה עוד כמה דוגמאות שתוכלו לנסות:
(1) בנו משולש ישר זווית ושווה שוקיים.
(2) בנו חוצה זווית במשולש שווה הצלעות שלנו. מצאו דרך כללית לבנות חוצה זווית במשולש כלשהו.
(לאתגרים נוספים ראו אתר אינטראקטיבי המציג משימות בניה ברמות קושי שונות ועם רמזים [4], גם אנימציה נהדרת עם בניות אלו ואחרות [5].)

על אף ניסוחן הפשוט, בעיות הבנייה עשויות להיות קשות לפתרון, ויותר מכך – יש בעיות בנייה שהן בלתי פתירות. כן, במקרים מסוימים אין שום דרך לבנות את מה שמבוקש בעזרת סרגל ומחוגה בלבד. אז איך נדע אם בעיה היא פתירה או לא? האם יש דרך מתמטית להוכיח שאי אפשר לפתור בעיה נתונה?
אחת הבעיות הבלתי פתירות נעשתה מטבע לשון – "לרבע את המעגל", שפירושו לעשות את הבלתי אפשרי: בהינתן עיגול, יש לבנות ריבוע בעל שטח זהה לשטח העיגול.

דוגמה נוספת לבעיה בלתי פתירה היא בנייה של זווית שהיא שליש של זווית נתונה. למשל, בהינתן זווית בת  60 מעלות (שכבר בנינו), יש לבנות זווית בת 20 מעלות.

במהלך מאות שנים ניסו מתמטיקאים שוב ושוב לפתור בעיות אלה ובעיות "עקשניות" נוספות, ורק בראשית המאה ה- 19 נמצא מדוע אינם מצליחים: באמצעות כלים אלגבריים חדשים שפיתח מתמטיקאי צרפתי צעיר בשם אווריסט גלואה (1832-1811), הוכח שבעיות מסוימות הן בלתי פתירות. גלואה נהרג בדו-קרב, אך למזלנו הספיק לתעד את רעיונותיו ערב מותו, והכלים שפיתח נקראים על שמו – תורת גלואה. כדאי לקרוא על עבודתו המתמטית של גלואה ועל חייו הקצרים והסוערים [6].

תורת גלואה מאפשרת להוכיח כי גדלים מסוימים, זווית בת 20 מעלות לדוגמה, אינם ניתנים לבנייה באמצעות סרגל ומחוגה. כלומר, הבעיה של בניית זווית שהיא שליש של 60 מעלות היא בלתי פתירה, ולכן גם המקרה הכללי – בניית שליש של זווית נתונה כלשהי – הוא בעיה לא פתירה. (יש לציין כי עבור זוויות מסוימות יש לבעיה פתרון. לדוגמה, ניתן לבנות שליש מ-90 מעלות – נסו!)

נתאר עתה, בקווים כלליים בלבד, את המהלך שמוכיח כי אי אפשר לבנות זווית בת 20 מעלות (להרחבה ראו [7] ו-[8]). תחזיקו חזק ונסו לתפוס את הרעיון.לזווית האמורה ניתן לשייך את המשוואה: 8X³-6X-1=0. זוהי משוואה שהמספר "קוסינוס 20 מעלות" הוא אחד הפתרונות שלה. בניית זווית בת 20 מעלות שקולה לבניית קטע באורך "קוסינוס 20 מעלות", כאשר יחידת האורך נקבעת מראש. (אם "קוסינוס" נשמע לכם כמו יוונית, מספיק לדעת שמדובר במספר שמאפיין את הזווית שגודלה 20 מעלות).
במשוואה מופיע פולינום ממעלה שלישית, ואי אפשר לפרק אותו לגורמים ממעלה נמוכה יותר בעלי מקדמים שלמים או רציונליים, כי למשוואה אין פתרונות רציונליים (זו טענה שיש להוכיח, כמובן). לכן, זהו פולינום מהמעלה הנמוכה ביותר האפשרית ש"קוסינוס 20 מעלות" הוא שורש שלו (מאפס אותו).

תורת גלואה נותנת אפיון מלא של גדלים הניתנים לבנייה. לאור מה שראינו, מהאפיון הכללי נובע בפרט שזווית בת 20 מעלות אינה ניתנת לבניה. אחת המסקנות היא שהמספרים הניתנים לבנייה גם הם אינם כוללים את כל המספרים האפשריים.

לסיכום, ראינו שבעיות הבנייה מימי יוון העתיקה הן משימות מאתגרות, גם אם ניסוחן פשוט, ושיש בעיות שהן בלתי פתירות. ההוכחה לכך שבעיית בנייה היא בלתי פתירה התאפשרה הודות לתורת גלואה, אשר נחקרת ומשמשת מתמטיקאים גם כיום.

מקורות והרחבות: 

[1] על הניסיונות של חכמי יוון העתיקה לתאר את העולם באמצעות מספרים

[2] פוסט על שורש 2 – מדע גדול, בקטנה

[3] פוסט בבלוג "לא מדויק" המסביר על מספרים אי-רציונליים

[4] תרגילי בנייה בסרגל ומחוגה, מהקל לקשה יותר – נסו, זה כיף 

[5] סרטון יפהפה המדגים בניות

[6] על אווריסט גלואה

[7] פוסט בבלוג "לא מדויק" על תורת גלואה

[8] למיטיבי ומיטיבות לכת, רשימות קורס בנושא תורת גלואה ושדות