כיצד מתרגמים את ההצבעה שלנו למנדטים בכנסת? נספר על המתמטיקה של חלוקת המנדטים בין המפלגות.
מאת רוני רונן, ידיד העמותה, בשיתוף עם דורון אורנשטיין
הבחירות בישראל הן יחסיות [1], דהיינו חלוקת הנציגים בכנסת מתבצעת יחסית לחלוקת קולות הבוחרים. לכאורה קל לחשב כמה מנדטים תקבל כל מפלגה: נמצא כמה קולות הם מנדט אחד (סך הקולות חלקי 120) ונחלק את מספר הקולות שקיבלה כל מפלגה במספר זה. הבעיה - תוצאת החלוקה אינה בהכרח מספר שלם.
נביט על שלוש מפלגות: אוהבי מרשמלו ("מ"), אוהבי ופל לימון ("ל"), ואוהבי ופל שוקולד ("ש"). נניח שנספרו 1.2 מיליון קולות, דהיינו כל עשרת אלפים קולות מזכים במנדט. נניח שמפלגות "מ", "ל", ו"ש" קיבלו 986 אלף, 107 אלף, ו-107 אלף קולות בהתאמה. על פי החלוקה מגיע למפלגות 98.6, 10.7 ו-10.7 מנדטים בהתאמה. כל מפלגה תקבל לפחות את המספר השלם של המנדטים המגיע לה דהיינו 98, 10, ו-10. אבל האתגר הוא כזה: איך נחלק את שני המנדטים שנותרו?
יש שתי שיטות מקובלות לפתרון הבעיה. השיטה הראשונה נקראת "שיטת השאריות הגבוהות ביותר". בשיטה זו ניתן את שארית המנדטים למפלגות עם שארית הקולות הגדולה ביותר. בדוגמה שלנו, למפלגות "ל" ו"ש" יש שארית של 0.7 מנדט לעומת 0.6 שארית מנדט למפלגה "מ". בשיטה זו, בסוף התהליך, המפלגות תקבלנה 98, 11, ו-11 מנדטים.
בשיטה השנייה, הנקראת "שיטת הממוצעים הגבוהים ביותר", נחלק את השאריות בין המפלגות כך שבחלוקה שנבחר, מספר הקולות הכי נמוך למנדט שתקבל מפלגה כלשהי יהיה גבוה ככל הניתן. מבולבלים? נבהיר זאת באמצעות תהליך החלוקה: מחלקים את מספר הקולות שקיבלה כל רשימה במספר המנדטים שיהיו לה אם היא תקבל מנדט נוסף. מעניקים את המנדט הפנוי לרשימה, שאחרי הקצאה זו, כל מנדט בה מייצג את המספר הגדול ביותר של מצביעים. חוזרים על תהליך זה עד שכל המנדטים מחולקים.
בדוגמה שלנו עלינו לחלק שני מנדטים. נחשב מה יהיה מספר המצביעים שחבר כנסת ייצג בכל מפלגה אם היא תקבל את המנדט הבא. נמצא ש:
במפלגת "מ": 986,000/99=9,960, ובשאר המפלגות 107,000/11=9,727. דהיינו, מספר הקולות הגבוה ביותר למנדט יהיה למפלגת "מ" - 9,960 מצביעים למנדט - ולכן היא תקבל את המנדט הראשון הנוסף.
נמשיך בתהליך ונבדוק את הייצוג למנדט לכל מפלגה אם היא תקבל את המנדט השני. גם עכשיו נמצא שמספר הקולות הגבוה ביותר למנדט הוא למפלגת "מ" ולכן היא תקבל גם את המנדט השני! בסוף התהליך המפלגות תקבלנה 100, 10, ו-10 מנדטים בהתאמה. (ראו טבלה:)
פסקה לחובבי מתמטיקה: במה דומות ובמה שונות שתי השיטות? ניתן להוכיח ש:
1. בשתי השיטות, אם מפלגה א' קיבלה יותר קולות ממפלגה ב', יהיו ל-א' לפחות אותו מספר מנדטים כמו ל-ב'.
2. בשיטת השאריות, הרווח או ההפסד של מפלגה כלשהי לעומת המגיע לה על פי חלקה היחסי קטן ממנדט אחד.
3. בשיטת הממוצעים, ההפסד של מפלגה כלשהי (לעומת המגיע לה) קטן ממנדט אחד. הרווח יכול להגיע לסכום כל שברי המנדטים המחולקים.
4. הקצאת המנדטים בשיטת הממוצעים מיטיבה עם המפלגות היותר גדולות (כמו שראינו בדוגמה).
היסטורית, "שיטת השאריות הגבוהות ביותר" הייתה נהוגה בישראל עד שנת 1973. באותה שנה נחקק חוק "בדר-עופר" [2] ע"ש חברי הכנסת יוחנן בדר ואברהם עופר, שיזמו את המעבר ל"שיטת הממוצעים הגבוהים ביותר". למה הוחלפה השיטה? בעיקר כי שיטה זו מיטיבה עם המפלגות הגדולות. לדוגמה, בבחירות לכנסת ה-23, מפלגת כחול-לבן הרוויחה את המנדט ה-33 בזכות שיטת בדר-עופר. על פי שיטת השאריות, מפלגת ימינה הייתה מקבלת את המנדט ה-7 [3].
האם שיטה אחת טובה או נכונה יותר מהשנייה? שתיהן לגיטימיות, ולכל שיטה יש פונקציית מטרה אחרת. האחת מנסה להפחית ככל הניתן את מספר המצביעים שלא קיבלו ייצוג, והשנייה מנסה להבטיח שהמספר המינימלי של מצביעים שחבר כנסת כלשהו ייצג יהיה הגבוה ביותר שניתן.
ובכל זאת, ל"שיטת הממוצעים הגבוהים ביותר" יש כמה מאפיינים חיוביים נוספים שהוכחו מתמטית [4]. נציין אחד מהם: השיטה מעודדת איחוד ולא פילוג. לדוגמה, ב"שיטת השאריות הגבוהות ביותר" ייתכן מצב שבו מפלגות שהתאחדו תקבלנה פחות מנדטים מאשר אם תרוצנה בנפרד. תופעה זאת אינה אפשרית ב"שיטת הממוצעים הגבוהים ביותר". בדוגמה שלנו, אם מפלגות אוהבי הוופלים "ל" ו"ש" תתאחדנה, חלוקת המנדטים על פי שיטת השאריות תהיה: "מ"- 99 מנדטים, "ל" + "ש" 21 מנדטים, בעוד כשרצו בנפרד היו למפלגות "ל" + "ש" ביחד 22 מנדטים. בשיטת הממוצעים, איחוד אינו יכול להקטין את מספר המנדטים של המפלגה המאוחדת. בדוגמה שלנו, אוהבי הוופלים יגדילו את ייצוגן המשותף מ-20 ל-21 מנדטים. זה הזמן לאיחוד חובבי הוופלים!
דבר אחרון - ללא קשר לשיטת החישוב - בבחירות האחרונות, לכנסת ה-23, לא הצביעו 28.5% מבעלי זכות הבחירה. זה שקול לכ-35 מנדטים, וזה אומר שהכנסת אינה מייצגת את כלל הציבור. רבים מבעלי זכות הבחירה חושבים שהקול שלהם חסר משמעות ולכן אינם מצביעים. אבל זה לא כך - כמו שאומר שיר החנוכה הידוע, "כל אחד הוא אור קטן, וכולנו אור איתן". לכו להצביע!
הערות והרחבות:
[2] חוק בדר-עופר
[4] https://en.wikipedia.org/wiki/D%27Hondt_method