בשנת 2000 פרסם מכון קליי למתמטיקה רשימה של שבע בעיות פתוחות שפתרון כל אחת מהן יזכה את הפותר נכונה במיליון דולר [1]. אחת מבעיות אלו דנה בקיום פתרונות "הגיוניים" (נסביר בהמשך בדיוק למה הכוונה) לאוסף משוואות מאוד חשובות הנקראות משוואות נבייה-סטוקס.

משוואות נבייה-סטוקס מתארות התנהגות של זורמים, כאשר זורם הוא כל חומר שעובר שינויי צורה מתמשך תחת כוח שפועל בכיוון המשיק לפני השטח (נקרא גם מאמץ גזירה). הגדרה קצת מבלבלת? תחשבו על זורם כחומר שמקבל את הצורה של הכלי בו הוא נמצא. למשל, גז הוא (לרוב) זורם, נוזל הוא כמובן זורם, אך כך גם פלזמה, לבה מותכת, צבירי גלקסיות, ואפילו קרחונים יבשתיים ניתן לתאר בתור זורם (הם זורמים ממש ממש לאט). 

עכשיו, אחרי שהסברנו מה נכלל תחת ההגדרה של זורם, אפשר להבין את החשיבות העצומה של משוואות נבייה-סטוקס. כל זורם בעולם ניתן לתיאור על ידי משוואות אלו. בין אם אנחנו רוצים לחשב מסלולים של טילים בליסטיים באטמוספירה, לדמות זרימת דם במערכת עורקים, או לחזות את מזג האוויר, משוואות נבייה-סטוקס יאפשרו לנו לחשב איך יראה שדה הזרימה במערכת שמעניינת אותנו.

משוואות נבייה-סטוקס עובדות כל כך טוב מכיוון שהן מבוססות על שני חוקים מאוד בסיסיים בפיזיקה: חוק שימור המסה והחוק השני של ניוטון. עבור זורמים, חוק שימור המסה מוביל למשוואה הנקראת "משוואת הרציפות", שבסה"כ אומרת שאם נרצה להכניס זורם לא דחיס (כמו מים) לנפח כלשהו, נצטרך להוציא מאותו הנפח כמות זהה של זורם, או "לנקב" בו חור שדרכו הזורם יוכל לברוח. החוק השני של ניוטון אומר שהקצב בו משתנה התנע של הזורם שווה לסכום הכוחות הפועלים עליו, והוא מוביל לשלוש משוואות נוספות (אחת לכל כיוון במרחב) המתארות תחרות בין שני האיברים החשובים ביותר בזרימה: איברי ההסעה ואיברי הצמיגות.

דמיינו סירת מנוע שטה באגם שקט. באיזור שצמוד למנוע הסירה שולטים להם איברי ההסעה, איברים המייצגים את מעבר התנע בזורם (תחשבו עליהם בתור האנרגיה הקינטית), והמים שוצפים במערבולות בכל מיני גדלים. אך אם נכבה את המנוע ונחכה קצת, פני המים ירגעו וכל המערבולות יעלמו. לאן נעלמה כל האנרגיה הקינטית? כאן נכנסים לתמונה איברי הצמיגות אשר מייצגים את ה"חיכוך הפנימי" בתוך הזורם, והם אחראים על מעבר האנרגיה הקינטית במערכת לאנרגיית חום. איברי הצמיגות שולטים בשדה הזרימה במקרים של זרימות מאוד איטיות, נוזלים מאוד צמיגיים (כמו דבש) ומימדי מערכת מאוד קטנים (כמו זרימה במיקרו-תעלות או נימים).

זוכרים את המערבולות בהמון גדלים שונים שנוצרו ממנוע הסירה? הגדלים השונים של המערבולות הן תוצר של תופעה מרתקת בזרימה הנקראת מפל אנרגיה. תופעה בה אנרגיה קינטית של המערבולות הגדולות עוברת למערבולות קטנות יותר ויותר, עד אשר המערבולות הופכות לקטנות כל כך שהצמיגות משתלטת וממירה את כל האנרגיה הקינטית לחום. בסרטון למטה תוכלו לראות הדגמה יפיפיה למפל האנרגיה בזרימה עירבולית.

ניתן אף לחשוב שבגלל פעולה זאת של איברי הצמיגות, כל שדה זרימה שנבחר, חזק ככל שיהיה, ידעך אחרי מספיק זמן והזרימה תיעצר. או, במקרה יותר כללי, היינו מצפים שאפילו בהינתן מקור אנרגיה חיצוני (כמו למשל המנוע בדוגמת הסירה), האנרגיה הקינטית של הזורם תישאר מוגבלת ושדה הזרימה לא "יתפוצץ" (כלומר, לא יקבל ערכים אינסופיים).

יש רק בעיה אחת... אין אנו יודעים איך להוכיח אף אחת מטענות אלו, ולמעשה, אין אנו יודעים אם באמת לכל תנאי התחלה "סביר", משוואות נבייה-סטוקס יתנו לנו פתרון הגיוני – כלומר כזה שלא מתפוצץ בזמן סופי.

בעיית המילניום של מכון קליי מתייחסת למשוואות נבייה-סטוקס עבור זורם נויטוני לא דחיס (כמו רוב הזורמים שאנחנו מכירים), שזאת הצורה הנפוצה ביותר של משוואות אלו, וניסוחה הרשמי הוא: "בהינתן שדה מהירות התחלתי בשלושה מימדי מרחב ומימד זמן אחד, הוכיחו או הפריכו ע"י דוגמה נגדית, שקיים שדה מהירות ושדה לחץ חלקים (כלומר פתרונות רציפים שלא משתנים בצורה חדה) ומוגדרים בכל מקום, הפותרים את משוואות נבייה-סטוקס". עד כה, הוכחו התוצאות החלקיות הבאות:

1. בשני מימדי מרחב ומימד זמן אחד, הבעיה נפתרה עוד במהלך שנות השישים והתשובה היא חיובית, כלומר, תמיד קיימים פתרונות חלקים ומוגדרים בכל מקום.
2. בשלושה מימדים, התשובה לשאלה היא חיובית, בהינתן ששדה המהירות ההתחלתי הוא מאד קטן.
3. בהינתן שדה מהירות התחלתי כלשהו בשלושה מימדים, ניתן להראות שקיימים פתרונות חלקים עד זמן סופי כלשהו (אך לא יודעים מה קורה אחרי זמן זה).
4. בשנת 2016, טרנס טאו, מתמטיקאי זוכה מדלית פילדס, הראה שיטה שבה ניתן לבנות פתרונות לגרסה "ממוצעת" של משוואות נבייה-סטוקס, אשר מתפוצצים בזמן סופי. ניתן לחשוב על אותן משוואות ממוצעות ככאלו המתארות את שדה הזרימה, רק ברזולוציה נמוכה, כך שלא רואים את כל הפרטים הקטנים.

למרות שההוכחה של טאו תקפה עבור משוואות שהן "כמעט" משוואות נבייה-סטוקס, אופן בניית הפתרון אפשרי עקרונית גם עבור המשוואות הלא ממוצעות, ויתכן שבעתיד מישהו ימצא פתרון לא חלק למשוואות נבייה-סטוקס, אשר נבנה על בסיס רעיון זה. מצד שני, יתכן ולא.

עד כה, משוואות נבייה-סטוקס עמדו בכל מבחן וניסוי בהצלחה, אך למרות אינספור נסיונות הוכחה (והפרכה) של מתמטיקאים ומדענים שונים מרחבי העולם, בעיית הקיום והחלקות של משוואות נבייה-סטוקס נותרה אחד האתגרים הגדולים והחשובים במתמטיקה. פתרון בעיה זאת קשור בצורה הדוקה ליכולת (או יותר נכון – לחוסר יכולת) שלנו להבין את מה שריצ'רד פיינמן כינה "הבעיה הפתוחה החשובה ביותר של הפיזיקה הקלאסית", וזאת כמובן זרימה טורבולנטית. פרס של מיליון דולר יכול לדרבן יותר אנשים לעבוד על הבעיה, אבל בינינו, כנראה שיש דרכים יותר קלות להרוויח מיליון דולר.

מקור:

[1] בעיות המילניום של מכון קליי למתמטיקה