בשנים האחרונות מתערער המראה המסורתי של הסופגניה הישראלית – היא מקושטת בשלל סוכריות צבעוניות, ציפויים ואף בתוספת פסלי עוגיות מלמעלה, כך שהולך וגדל הדמיון לדונאט מקושט ומפואר. איך לא ניפול בפח בבואנו לבחור בסופגניה או בדונאט? נציג את אחת הדרכים המתמטיות להבחין ביניהם ונראה שמבחינה טופולוגית, הדונאט וספל הקפה שלידו הם היינו הך.

טופולוגיה היא תחום במתמטיקה העוסק בתכונות של אובייקטים אשר נשמרות תחת ביצוע פעולות רציפות כגון הזזה, מתיחה או כיווץ - לעיתים רק של חלק מהאובייקט ולא של כולו, אך לא קריעה או הדבקה. מבחינה טופולוגית, שני אובייקטים הם שקולים אם אפשר לעבור מאחד לשני במעבר רציף. למשל, דונאט וספל קפה הם שקולים! ראו אנימציה:

נסו לחשוב ולדמיין מה היה קורה לו במקום הספל היתה לנו כוס ללא ידיות? האם גם אז היא הייתה שקולה לדונאט, או אולי לסופגניה? ואם היו לספל שתי ידיות ולא אחת?

בשלב זה מתחיל להתבהר לנו שיש חשיבות לכמות הידיות או כמות ה"חורים" באובייקט – גם לדונאט וגם לספל הקפה יש "חור" אחד, ואילו לסופגניה ולכוס ללא ידית אין "חורים". כיצד ניתן להגדיר את ה"חור" הזה באופן מתמטי? אם נצליח לעשות זאת, נוכל להבדיל בין סופגניה לדונאט! לשם כך, ניתן טעימה מהתחום של טופולוגיה אלגברית, המאפשר לחקור תכונות טופולוגיות בעזרת כלים אלגבריים. לא נכנס לפרטים המדויקים, אלא נסתפק בתיאור ציורי כדי להעביר את רוח הדברים.

כדי להבדיל בין סופגניה לדונאט, נסתכל במעטפת של שני הגופים המדוברים, כלומר בחלק החיצוני והמטוגן בלבד, לא כולל הבצק בפנים. מעטפת הסופגניה היא בעצם מעטפת של כדור או משהו דומה לכדור (תלוי כמה הסופגניה נמעכה בדרך מהמאפייה הביתה), הנקראת גם ספֵירה. לעומתה, מעטפת הדונאט היא צורה הנקראת טוֹרוּס.

הדרך שנציע כדי להבחין בהבדל ביניהן מצריכה מזלף עם שוקולד וקצת דמיון. ברצוננו לזלף על הסופגניה קו דק מבלי לקטוע אותו, כך שהוא מסתיים באותה נקודה בה התחיל. קו כזה נקרא עקומה סגורה או פשוט לולאה. זה יכול להיות מעגל, או מעגל מעוות באופן כלשהו, ואפילו זילוף בצורת שמונה (מותר לעבור באותה נקודה יותר מפעם אחת). נזליף את הלולאה על הסופגניה ונתחיל להזיז את הלולאה בדמיוננו באופן רציף – כמו קודם, מותר למתוח אותה, להגדיל או להקטין, לעוות את הצורה, אבל מבלי "לקרוע" אותה, כלומר לאורך כל הדרך צריך להיות קו רציף שמתחיל ומסתיים באותה נקודה. עשוי להיות קל יותר לדמיין את הלולאה בתור גומייה שנמצאת על הספירה שאפשר למתוח ולעוות ככל שנרצה, אך אסור לקרוע אותה. אפשר להקטין יותר ויותר את הלולאה שלנו, עד שנגיע למצב של מעגל קטן מאוד, ואז קטן עוד יותר. למעטפת הסופגניה יש את התכונה הבאה: לא משנה מאיזו לולאה נתחיל, אם נחליט להקטין אותה עוד ועוד, נוכל להגיע למצב שהלולאה שלנו מתכווצת פשוט לנקודה (ראו ציור).

ומה המצב על מעטפת הדונאט? ניקח לולאה גדולה, בצורת מעגל שעובר מסביב ל"חור" של הטורוס (ראו ציור) וננסה לכווץ אותה בדמיוננו – נגלה מיד שיש כאן מכשול! אי אפשר לכווץ אותה לנקודה כמו קודם, כי ה"חור" של הטורוס מפריע לנו! לא משנה איך נזיז, נמתח, נעוות – כל עוד לא נקרע את הלולאה, לא נצליח לכווץ אותה לנקודה. כלומר, גילינו הבדל מהותי בין הספירה לטורוס: על הספירה – כל לולאה אפשר לכווץ לנקודה, ועל הטורוס – ישנן לולאות שאי אפשר לכווץ לנקודה. תכונה זו מונעת מהם להיות שקולים טופולוגית!

למעשה, על הטורוס ישנן שתי לולאות שונות שאי אפשר לכווץ לנקודה. הן שונות במובן שאי אפשר להגיע מאחת מהן לשנייה על ידי מעבר רציף. נסו לדמיין את אותן שתי לולאות שונות (ראו ציור – לולאה אדומה וכחולה).

בטופולוגיה (ובאופן כללי במתמטיקה), אחת המטרות היא לסווג אובייקטים על פי תכונותיהם (במקרה שלנו, תכונות טופולוגיות), כלומר לחלק את כלל האובייקטים לכמה מחלקות, כך שבכל מחלקה יהיו אובייקטים שקולים. למשל, ראינו בעזרת אנימציה נחמדה שניתן לעבור באופן רציף בין ספל קפה לדונאט, ולכן הם שקולים וימצאו באותה מחלקה. לעומת זאת, הספירה תהיה במחלקה אחרת, כי אי אפשר לעבור באופן רציף ממנה לטורוס או להפך. אם עומד בפנינו אובייקט חדש, נוכל מיד לשאול: האם הוא שייך לאחת המחלקות שכבר מוכרות לנו או שמא הוא אובייקט מסוג חדש? אם הוא שקול לאובייקט שכבר מוכר לנו, נוכל להסיק שיש לו מספר תכונות המשותפות לכל האובייקטים באותה מחלקה – תכונה כזאת יכולה להיות למשל כמות ה"חורים".

אם נמצא תכונה או גודל שנשמר תחת מעבר רציף, נוכל בעזרתם להבדיל בין אובייקטים שאינם שקולים טופולוגית. גודל כזה נקרא שְׁמוּרָה (אינווריאנט). למשל, אם יש שני אובייקטים עם כמות "חורים" שונה, נוכל להסיק שהם לא שקולים מבחינה טופולוגית, כיוון שכמות ה"חורים" היא שמורה.

שמורות לא בהכרח יתנו סיווג מלא של האובייקטים. למשל, יכולים להיות שני אובייקטים לא שקולים עם אותה כמות "חורים". לדוגמה, לספירה אין "חורים" (במובן שכל לולאה ניתנת לכיווץ לנקודה), וגם למישור אינסופי אין "חורים" באותו מובן (דמיינו שולחן אינסופי שנמשך לכל הכיוונים). עם זאת, האינטואיציה אומרת לנו שהספירה והמישור לא שקולים מבחינה טופולוגית. אלא שאי אפשר להבחין ביניהם באמצעות לולאות או "חורים" ויש לחשוב על תכונה אחרת שמבדילה ביניהם.

נעיר שישנן דרכים מתמטיות נוספות להבדיל בין הספירה לטורוס. על דרך אחת כזו תוכלו לקרוא בהרחבה בפוסט של מדג"ב על נוסחת אוילר [1] – נוסחת אוילר זו כוללת למעשה את כמות ה"חורים" ונותנת דרך מעשית לחשב אותה באמצעות חלוקה של האובייקט לכמה אזורים. מומלץ!

יכול להיראות מפתיע שהתעלמנו מהצורה הספציפית של האובייקט והיה לנו אכפת רק מתכונות שנשמרות במעבר רציף (כגון כמות "חורים"). למה שמאפיינים גסים כל כך יעניינו אותנו? הדבר תלוי בבעיה שמעניינת אותנו. לפעמים הצורה הספציפית יכולה להיות חשובה ואז כמובן יהיה חשוב האם מדובר בדונאט או בספל קפה. במקרים אחרים מספיק יהיה להסתכל עליהם רק מבחינה טופולוגית. הסתכלות טופולוגית כזו, המתעלמת מתכונות ספציפיות ומתרכזת בתכונות כלליות, מאפשרת להוכיח משפטים כלליים יחסית שיכולים להתאים להרבה מקרים שונים ולשמש בתחומים מתמטיים שונים, בזכות אותה כלליות (ראו דוגמה ב-[2] לשימוש בכלים טופולוגיים בהוכחת טענה גיאומטרית).

לסיכום, הכרנו את נקודת המבט הטופולוגית ולמדנו כי מבחינה טופולוגית, אובייקטים שניתן לעבור ביניהם במעבר רציף יחשבו שקולים. תיארנו כיצד בעזרת הסתכלות על לולאות ניתן לאתר "חורים" והגענו למסקנה שסופגניה (בה כל לולאה אפשר לכווץ לנקודה) לא שקולה לדונאט (בו ישנן לולאות שלא ניתנות לכיווץ).

נקווה שהפוסט פתח לכם.ן תיאבון לעוד טופולוגיה!

קישורים לקריאה נוספת:

[1] נוסחת אוילר

[2] סרטון (בערוץ יו-טיוב מומלץ!) על בעיה גיאומטרית פשוטה לניסוח עם פתרון המשתמש בטופולוגיה

[3] פוסט על שמורות מהבלוג "לא מדויק"

[4] על החבורה היסודית, אותה שמורה שניתן להגדיר בעזרת לולאות ולא הגדרנו כאן במדויק, לבעלי.ות רקע מתמטי