בחודש שעבר, ב-23 בנובמבר (11/23 ברישום אמריקאי) חגג העולם את "יום פיבונאצ'י", שמנציח את המתמטיקאי המפורסם בזכות סדרת המספרים הנושאת את שמו ומתחילה במספרים: 1,1,2,3. סדרה זאת מוכרת לרבים וקשורה גם ל"יחס הזהב". אולם, התברר שנוצר סביבה ערבוב בין מציאות לדמיון.

בכתיבת הפוסט השתתפה גם נצה מובשוביץ-הדר

בעת האחרונה שמענו הרבה סיפורים על התרבות מעריכית ("אקספוננציאלית") ועל וירוסים. הפעם, במקום וירוסים, נספר סיפור דמיוני על התרבות של ארנבונים, ובמקום סדרה מעריכית, נספר על סדרת מספרים מיוחדת. סיפורה של הסדרה הזאת מתחיל מחידה מתמטית פשוטה שחוברה בשנת 1202 על ידי מתמטיקאי בשם לאונרדו פיבונאצ'י, והפכה להיות הסדרה הלוהטת בהיסטוריה של המתמטיקה. החידה עוסקת בזוגות של ארנבונים שמתרבים ללא הפסק בחצר, כך שכל זוג מוליד כל חודש זוג צאצאים חדש, וכשנולד זוג חדש, לוקח לו חודש להתבגר מינית ואז מתחיל אף הוא להתרבות.

למשל, אם יספרו לנו שלפני חודשיים היו בחצר 3 זוגות ארנבונים ולפני חודש היו בה 5 זוגות - 3 מבוגרים ו-2 צעירים, נוכל לחזות את העתיד: החודש יהיו בחצר 8 זוגות - 5 זוגות מבוגרים ו-3 צעירים (שהם צאצאי שלושת הזוגות המבוגרים מהחודש שעבר). בחודש הבא יהיו כבר 13 זוגות (8 מבוגרים, 5 צעירים) , אחרי זה 21 זוגות (13 מבוגרים ו-8 צעירים) וכך הלאה. רואים את החוקיות?

נסמן את מספר הארנבים בחודש n בסימון (F(n , ונקבל את משוואת הנסיגה הידועה כמשוואת פיבונאצ'י: 

(F(n) = F(n-1) + F(n-2

סדרה זו הפכה לכלי משחק בידי מתמטיקאים, שמצאו בה שלל תכונות מעניינות. די להסתכל על  סרטונים ברשת [1], כדי להיסחף בהתלהבות של המתמטיקאים העוסקים בסדרה. ספרים רבים נכתבו עליה, וחיפוש בפייסבוק מניב שלל דפים בנושא המכילים משפטים מתמטיים, תמונות וגם חידות.

נראה שכדי לחשב איבר כלשהו בסדרה, צריך לחשב את כל קודמיו. אכן, בהרבה ראיונות עבודה שנטלתי בהם חלק כמראיין (דורון), המרואיינים הציעו שלל מימושי תוכנה שכללו חישוב איברים קודמים. אולם, רק רק שניים ניסו לפתח נוסחה לחישוב האיבר ה- n בסדרה בצורה ישירה. נוסחה כזאת אכן קיימת ונקראת "נוסחת בינה" [2]. טיפ: אם בכוונתך לגשת לראיון, כדאי לך ללמוד את הנושא.

יש המון תכונות מעניינות בסדרת פיבונאצ'י, אולם תכונה אחת מאפילה על כל האחרות: אם נחלק איבר בסדרה בקודמו, נגלה שככל שאנו מסתכלים על שני איברים רחוקים יותר בסדרה, התוצאה  תתקרב למספר מיוחד במתמטיקה שנקרא "יחס הזהב". ערכו בקירוב 1.618. ליחס זה, שקשור גם לגיאומטריה, יש תכונות מעניינות, והוא זכה לפרסום רב בתחומי מדע רבים, ואף באומנות. 

החיבור בין סדרת פיבונאצ'י הידועה ליחס הזהב עורר הרבה עניין וניסיונות לקשר אותו לתופעות במציאות, אולם אחדים מהקישורים נראים די רופפים, ומעוררים לעיתים חשד שיש בהם התלהבות יתר, ואולי אפילו נטייה למיסטיקה. נושא זה הציק לחוקרים שיצאו לפשפש בפרטים. אחד הידועים ביניהם הוא פרופ' מריו ליביו, האסטרופיזיקאי והסופר הישראלי הידוע, שיצא למסע כזה בספרו "חיתוך הזהב".

באמצעות איסוף מדידות וחקר כתבים היסטוריים, מריו ליביו וחוקרים אחרים הצליחו להפריך מיתוסים נפוצים. להבנתם, יחס הזהב אינו מצוי במבנים ארכיטקטוניים קדומים (כמו מקדש הפרתנון היווני או הפירמידות) ולא ביצירות אומנות קלאסיות (ציור ומוסיקה) יותר מאשר יחסים אחרים [3]. לפיכך, אין סיבה לשאוף  דווקא ליחס זה כשאנו מציירים או מצלמים.

אולם, מתברר שלמספרי פיבונאצ'י יש נוכחות רבה בטבע. למשל, אם נספור את מספר הספירלות באיצטרובל, נקבל בדרך כלל שני מספרי פיבונאצ'י עוקבים - 13 בכיוון השעון, ו-8 בכיוון הנגדי. תופעה דומה, עם מספרים שונים, מוצאים גם בתפרחת החמנייה ובצמחים אחרים. תופעה זאת נשארה בגדר תעלומה, עד לשנת 2000 כשחוקרים גילו שאין כאן גורם מיסטי, אלא הסבר מדעי: "פרח" החמנייה הוא למעשה תפרחת המכילה הרבה מאוד פרחים, לאחר ההנצה, כל ניצן נדחק החוצה על ידי הניצנים הבאים. הוא הולך ומתרחק מן המרכז וכך נוצרת התפרחת. הזווית הנוצרת בין הקו המחבר את מרכז הגבעול והניצן החדש לבין הקו המחבר את מרכז הגבעול והניצן הקודם היא זווית הקרויה "זווית הזהב" (כ-137.51 מעלות), שקשורה כמובן ליחס הזהב. רק בזווית הזאת נוצרות תבניות ספירליות, שמספריהן כמספרים עוקבים בסדרת פיבונאצ'י. סיפור מורכב, אבל מקסים, שמבטא את השירות של המתמטיקה למדעים! תוכלו לקרוא פרטים נוספים במצגת באתר "רמזור למורה" [5].

לסדרת פיבונאצ'י יש עוד תכונה מפתיעה: היא לא חלק מתוכנית הלימודים הרשמית, ומבחינות הבגרות. עובדה זו יכולה אולי לעזור לפתוח את ליבם של הרוב הדומם של התלמידים והמבוגרים להנות מיופיה של המתמטיקה. 

מקורות:

1. הרצאת TED על סדרת פיבונאצ'י 
2. נוסחת בינה
3. הרצאה של פרופ' מריו ליביו על "חיתוך הזהב"
4. משפחת המרכבים בצמח השדה
5. מצגת פיבונאצ'י באתר "רמזור למורה"