קבוע פיתגורס
15/12/2020
כדי לחגוג את מספר הלייקים העגול שלנו בדף הפייסבוק, 141,421, כתבנו על ההיסטוריה של המספר האי רציונלי הראשון, השורש הריבועי של 2, הידוע בכינוי "קבוע פיתגורס". הבאנו לכם את הסיפור המרתק של גילוי המספר, הכולל חברי כת מסתורית ואגדות עתיקות, ואת המקומות הלא צפויים שבהם הוא מופיע: במוזיקה, בצילום ובגיליונות נייר.
נתחיל בחידה. אם ניקח גיליון נייר סטנדרטי בגודל A4 ונקפל אותו לשניים, בדף המקופל, היחס בין אורכי הצלעות יהיה שווה ליחס שבין אורכי הצלעות של הדף המקורי. איך זה ייתכן ומה הקשר לשורש 2? תשובה בהמשך.
שורש ריבועי של המספר 2 הוא מִספר שאם נכפול אותו בעצמו נקבל 2.
הקבוע שייך לקבוצת המספרים האי רציונליים. ראשית בואו נכיר את סוגי המספרים:
- מספרים טבעיים (N) - מספרים שלמים הגדולים מאפס.
- מספרים שלמים (Z) - כוללים גם אפס ומספרים שליליים, כמו קומות בבניין, כולל החניון.
- מספרים רציונליים (Q) - בדרך כלל מתגוררים בפתח תקווה ומקבלים החלטות לאחר מחשבה רבה ושקילת כל הנתונים. במתמטיקה הם מבוטאים בעזרת יחס של שני מספרים שלמים. לדוגמה, פיצה אחת נחתכת לשמונה משולשים, ומתקבל מספר רציונלי ⅛.
- מספרים ממשיים (R) - אפשר לייצגם על ידי נקודה על ציר המספרים. בתוך המספרים הממשיים כלולים המספרים האי רציונליים. מספר אי רציונלי הוא מספר שאי אפשר לכתוב אותו כחלוקה של שני מספרים שונים. קבוע פיתגורס נראה כך ...1.41421. דוגמאות נוספות הן המספרים: π, e, √5
- הסוג האחרון הוא מספרים מרוכבים (C) - הכוללים את כל הסוגים, ובנוסף פתרונות לשורש של מספר שלילי. [1]
סוגי המספרים הללו מוכרים לנו כיום, אבל בתקופת יוון העתיקה, למשל, הכירו הרבה פחות סוגים. זוכרים את פיתגורס (497-572 לפנה"ס), ששמו גורם לתלמידי התיכון לפריחה, וידוע בעיקר בשל המשפט הקרוי על שמו, המתאר יחס ריבועי אורכי צלעות במשולש ישר זווית? מתברר שמלבד תרומתו המתמטית והיותו מוקד שנאה לתלמידים, פיתגורס הקים כת מסתורית שהייתה ידועה בשם "מסדר הפיתגוריים". הם האמינו בין השאר בקשר הדוק בין מספרים וגיאומטריה, כלומר שניתן לתאר את המציאות סביבנו בעזרת מספרים שלמים והמנות שלהם, כמו בקשר המתמטי של צלילים ומוזיקה. המסדר עסק רבות בפעילות מתמטית גם לאחר מותו של פיתגורס, וחבריו נהגו לייחס כל משפט חשוב או תוצאה לפיתגורס.
האגדה מספרת שיום אחד, חבר במסדר בשם היפסוס טען שקיימים בעולם גדלים שאינם ניתנים להבעה כיחס בין שני מספרים שלמים, מה שלימים נודע כמספרים אי רציונליים. חברי המסדר קיבלו זאת בהבנה והשליכו אותו לים, בשל הכפירה הנוראה שערערה את בסיס האמונה שלהם לגבי מבנה העולם. [2]
אז מדוע הקבוע חשוב והיכן נפגוש אותו?
השימוש הכי מוכר לקבוע יתקבל אם נצייר משולש ישר זווית ושווה שוקיים באורך 1. הכוונה למשולש שלו שני קטעים מאונכים ושווים זה לזה, ובו אורך היתר יהיה בדיוק שורש של 2. (ראו איור)
דוגמה לשימוש ייחודי בקבוע מצויה בגיליונות נייר למדפסת. רובנו משתמשים בגיליון בגודל A4, שהוא חלק בסדרת גודלי הגיליונות A1 ,A2 ,A3 ,A4 ,A5. אם נמדוד בעזרת סרגל גיליון A4 נראה שגודלו 210 על 297 מילימטרים. אם נחלק את המספרים נקבל, כמעט במדויק, את קבוע פיתגורס. למעשה, כך מוגדרת כל סדרת הגיליונות: אורך כל דף ארוך פי קבוע פיתגורס מהדף הבא בסדרה (A4 ארוך פי קבוע פיתגורס מ-A5). היתרון הוא שאם נקפל את הדף לחצי נקבל במדויק את מידותיו של הדף הבא בסדרה. [3]
גיליון A4 - חישוב יחס: ...1.414285 = 297/210
קבוע פיתגורס: ...1.414213 ≈ 99/70 = 2√
גם במוזיקה מסתתר קבוע פיתגורס בין הצלילים. מרווח בין שני תווים מוגדר כיחס בין התדירויות שלהם. במוזיקה מבוצעת חלוקת האוקטבה למרווחים שווים, כאשר במוזיקה מערבית נהוג לחלקה ל-12 מרווחים שווים. למה דווקא 12? כמו שפיתגורס גילה, מרווחים ביחסים של 2:1 ו־3:2 ערבים יותר לאוזן האנושית (לדוגמה, אם יחס התדרים בין שני צלילים הוא 3:2, הכוונה היא שתדר הצליל האחד גבוה פי 3/2 מהשני). המרווחים המתקבלים הם ביחס של שורש לא ריבועי של 2 (¹²√2) . כלומר, אם המלחין חילק את האוקטבה לשני מרווחים זהים - חלוקה המכונה "טריטון", אזי היחס בין התווים המוזיקליים בתדר שלהם יהיה בדיוק שורש 2.
דוגמה נוספת קשורה לצילום. כמו שראינו בדוגמה של גיליון הנייר, בכל פעם שיש סדרה שבה השטח גדל פי 2, הצלע או הרדיוס צריך לגדול בשורש של 2. בצילום נעשה שימוש במִפתָּח הצמצם כדי לקבוע את כמות האור שנכנסת מבעד לעדשה. המִפתח מבטא את היחס בין אורך המוקד לקוטר הצמצם, כאשר היחס בין תחנות הצמצם (Aperture Opening) המכונות F-STOPS, הוא קבוע פיתגורס. מפני שהשטח הוא מכפלה של פאי בריבוע הרדיוס, בעת ההעלאה בריבוע של קבוע פיתגורס נקבל מספר שלם, וכל שטח יהיה גדול פי 2 מהשטח לפניו. (ראו איור)
אפילו במשחקי וידאו של זירת קרב מרובת משתתפים (MOBA) כגון League of Legends, אם נבחר בנתיב המרכזי, הוא יהיה קצר יותר בקבוע פיתגורס חלקי 2 מהנתיבים האחרים.
לסיכום, לצד מספרים מפורסמים כמו פאי וקבוע אוילר, שמור מקום של כבוד גם לקבוע פיתגורס. לקבוע יש יתרונות רבים, בין אם מדובר בנגינת מוזיקה, צילום תמונה או סתם קיפול דף. והיתרון הכי חשוב: היום כבר לא יזרקו אותנו לים אם נגיד שיש דבר כזה שורש של 2.
מקורות:
[1] סוגי מספרים - האנציקלופדיה של המתמטיקה
[2] מתוך הספר "הקשר המתמטי: המתמטיקה של הטבע, הטבע של המתמטיקה, והזיקה לאבולוציה" מאת פרופ' צבי ארטשטיין. הוצאת ספרי עליית הגג, 2014.
סמנכ״ל ניו-מדיה של העמותה. בעל תואר ראשון בהנדסת מכונות ותואר שני בהנדסת מערכות (שניהם בטכניון).
