הביליארד המוכר לכולנו הוא שולחן מלבני עם כמה חורים, ריפוד ירקרק וכדורים צבעוניים שמתגלגלים עליו, מתנגשים בדפנות השולחן וזה בזה. אך האם שמעתם פעם על ביליארד מתמטי? כרגיל במתמטיקה, זוהי הפשטה מסוימת של המציאות, אך גם הכללתה. המטרה שלנו תהיה לחקור בכלים מתמטיים את תנועת הכדורים על שולחן הביליארד, ובשל כך עדיף להתחיל ממקרה פשוט כמה שאפשר: כדור אחד בלבד. כפי שיתברר מיד, אפילו המקרה הזה הוא לא פשוט כפי שנדמה.

נדמיין כדור אחד על שולחן מלבני. כיאה לעולם מופשט, נניח שהכדור נע ללא חיכוך: אם נחבוט בו, הוא ימשיך לנוע ולא יאט או יעצור, אלא אם נאט אותו בכוח. בנוסף, נדמיין שולחן ביליארד שאין חורים בפינותיו או על צלעותיו, כך שהכדור לא יכול להיעלם לשום מקום. לבסוף, כדי שיהיה קל יותר להבין את תנועת הכדור, נחשוב עליו כעל נקודה, ישות חסרת שטח ונפח - גוף נקודתי.

איך מתרחשת התנועה? הכדור מתחיל לנוע מנקודה כלשהי על השולחן בכיוון ובמהירות בה נדחוף אותו, עד שהוא פוגע בקיר (אחת מצלעות המלבן) ואז מוחזר ממנו כמו שזה קורה בביליארד הרגיל: זווית הפגיעה שווה לזווית ההחזרה (ראו איור). אחרי ההתנגשות הראשונה בקיר, הוא ממשיך לנוע באותו קצב (אבל בכיוון שונה) עד ששוב פוגע בקיר (אחר) ומוחזר ממנו וכן הלאה עד אינסוף (כאמור, אצלינו אין חיכוך).

רק רגע... מה קורה אם הכדור הנקודתי שלנו פוגע באחת הפינות? הוא אמנם לא נופל, אך לאן הוא ממשיך לאחר פגיעה בפינה? מקרה כזה לא נכלל בחוקיות שתיארנו עד כה (זווית הפגיעה = זווית החזרה), כי בפינה בכלל לא ברור מהי זווית הפגיעה! אבל הסיכוי שהכדור הנקודתי יפגע בדיוק בפינה ולא יפספס טיפה הוא אפסי. לכן נחליט במודע להתעלם ממקרה זה לחלוטין ונניח שהכדור לא פוגע בפינות לאורך כל מסעותיו. כמובן, בביליארד אמיתי הסיכוי להכניס כדור לחור באחת הפינות איננו אפסי, שכן לחורים הללו יש שטח שאיננו אפס.

די קל לעקוב אחרי הכדור ולראות מה קורה לו אחרי ההתנגשות הראשונה, והשניה והשלישית, אבל אם נשאל היכן יהיה הכדור אחרי 1000 או מיליון התנגשויות - זה כבר די קשה. באופן עקרוני, עדיין נוכל לחשב זאת, כיוון שידועה לנו חוקיות התנועה, אבל הדבר ידרוש המון חישובים (אם נכתוב תוכנת מחשב מתאימה, נוכל להקל על החישוב). האם נוכל לחזות היכן יהיה הכדור בכל זמן שהוא? מה המסלול שיעשה? ובכלל, אילו סוגי מסלולים יכולים להיות? האם הכדור יחזור אי פעם לנקודה ממנה התחיל?

ישנו סוג מיוחד של מסלולים, שמם מסלולים מחזוריים, בהם הכדור שב וחוזר על אותה תבנית – כלומר על אותו מסלול. למשל, אם בביליארד המלבני שלנו נחבוט בכדור בכיוון המאונך לאחד הקירות, הכדור יפגע בקיר, יתנגש בו בזווית ישרה ביחס לקיר, ויוחזר בדיוק לאותה נקודה ממנה הגיע (כמובן בכיוון תנועה הפוך), יחלוף על פני אותה הנקודה התחלתית, יפגע בקיר שממול בזוית ישרה, יוחזר ממנו שוב במאונך לקיר וחוזר חלילה. כלומר, הכדור ינוע במסלול מחזורי בין שני קירות הנמצאים זה מול זה ולו שתי נקודות התנגשות שונות בדפנות השולחן. ישנו גם מסלול מחזורי ארוך יותר במלבן - בעל 4 נקודות התנגשות שונות - מרכזי צלעות (איור).

החלק במסלול שבין נקודת ההתחלה לנקודה בה הכדור שב בפעם הראשונה למצב ההתחלתי (מבחינת מיקום וכיוון התנועה) נקרא מחזור אחד של המסלול, וזה בעצם קובע את המסלול כולו – כיוון שמרגע שהושלם מחזור אחד, הכדור יחזור על אותה תבנית שוב ושוב.

לפני שנמשיך בסיפור, נכליל את הביליארד שלנו! אין שום הכרח ששולחן הביליארד יהיה בצורת מלבן, הרי ממילא זהו שולחן ביליארד דמיוני. צורתו יכולה להיות למשל משולש, מחומש, עיגול, אליפסה. בעצם כל צורה שנרצה. תנועת כדור הביליארד עדיין מאופיינת על ידי הכלל "זווית הפגיעה שווה לזווית ההחזרה", כאשר במקרים כמו העיגול שבו הקירות אינם קווים ישרים, ניעזר במשיק בשביל למדוד זוויות - ראו באיור.

כאן עולות שאלות רבות - האם בביליארד מכל צורה יש מסלולים מחזוריים? ואם יש, מה הם בדיוק אותם מסלולים מחזוריים? כמה נקודות התנגשות בדפנות יכולות להיות במחזור אחד? מה המחזור הכי קצר או הכי ארוך שיש? (איורים של מסלולים מחזוריים שונים בעיגול)

מתברר שבמקרים מסוימים (אפילו כאלה שנראים פשוטים), שאלת קיומם של מסלולים מחזוריים עדיין פתוחה! ידוע למשל כי בכל משולש חד זוית (כזה שכל זויותיו חדות, כלומר קטנות מ-90 מעלות) יש מסלול מחזורי: נקודות ההתנגשות שלו בדפנות השולחן הן בנקודות החיתוך של גבהי המשולש עם צלעותיו (ראו ציור), ניתן להוכיח שאכן במסלול שמחבר את הנקודות הללו זוית הפגיעה שווה לזוית ההחזרה בכל התנגשות, ההוכחה אפשרית בעזרת גיאומטריה ברמה של תיכון. גם בכל משולש ישר זוית ניתן למצוא מסלול מחזורי [1]. לעומת זאת, במשולשים בעלי זוית קהה עוד לא הכל ידוע והמחקר בשאלה זו נמשך. נכון לכתיבת שורות אלה, לא ידוע האם בכל משולש בעל זוית קהה הגדולה מ- 112.3 מעלות קיים מסלול מחזורי.

מסלולים מחזוריים זה נהדר, אבל מתברר שבביליארדים יכולה לקרות גם תופעה שונה בתכלית: מתברר שביליארדים הם דוגמא למודל בו יכולה להתרחש תופעה של כאוס - מה שידוע יותר בשם "אפקט הפרפר" (ראו פוסט במדג"ב). האפקט מדבר על כך שתזוזה קטנה במצב ההתחלתי של המערכת (למשל שינוי קטן במיקום הכדור או כיוון התנועה שלו בתחילת המסלול) יכול להוביל לשינויים גדולים מאד בהמשך.
על מנת להדגים את התופעה, נציג ביליארד מסוים בו יהיה קל לצייר אותה: ביליארד סִינַי (הקרוי על שם יעקב סִינַי, מתמטיקאי ממוצא רוסי-אמריקאי-יהודי, העוסק בתחום מערכות דינמיות).
בגרסה הכי פשוטה שלו, מדובר בשולחן בצורת ריבוע, אבל באמצע הריבוע ישנו עיגול (אולי מגש ועליו קנקן תה?), כך שכדור הביליארד שלנו יכול לנוע רק בין הריבוע לעיגול, אך לא בתוך העיגול.נצייר לנו מצב התחלתי כלשהו של תנועת הכדור. אם נשנה ממש קצת את המצב ההתחלתי (למשל, נזיז את המיקום ההתחלתי של הכדור ונשמור על אותו כיוון תנועה, כמו בציור), לאחר מספיק זמן המסלול המקורי והמוזז יהיו שונים מהותית! (באיור: שני מצבים התחלתיים די קרובים זה לזה, הירוק והסגול, מתפתחים למסלולים שונים לחלוטין לאחר שתי התנגשויות בלבד.)

על אף המודל המופשט, ביליארדים מתמטיים מתארים הרבה מערכות פיזיקליות חשובות. למשל, מסלולים של קרני אור באופטיקה גיאומטרית, התנהגות של גז אידיאלי, תנועת חלקיקים ברכיבים ננומטריים, ומערכות רבות אחרות.

לסיכום, ביליארדים מתמטיים הם מודל יחסית אינטואיטיבי ופשוט לתיאור, אך הם משמשים "מגרש משחקים" לשלל תופעות מתמטיות מעניינות ומאפשרים תיאור של מערכות פיזיקליות שונות [2]. עם זאת, במהלך אליפויות העולם בביליארד טרם נרשמו עדויות לשימוש בידע שנצבר.

קישורים:

[1] סרטון בו ד"ר דיאנה דוויס, חוקרת במתמטיקה, מסבירה מה ידוע עד כה לגבי מסלולים מחזוריים במשולשים (לא לגמרי לקהל הרחב).

[2] סרטון עם הרצאה לקהל הרחב על ביליארדים של אסף הדרי, פרופ' חבר באוניברסיטת הוואי (באנגלית).