כיצד נראה המרחב שלנו במרחקים קצרצרים? האם ייתכן שאורך כפול רוחב זה לא כמו רוחב כפול אורך? ואיך כל זה קשור לאלקטרומגנטיות?

תארו לכם שאתם מעוניינים לחשב שטח של מלבן. אתם מכפילים את האורך ברוחב ומקבלים שטח מסויים. ליתר בטחון אתם מכפילים את הרוחב באורך ומקבלים שטח אחר. מייד אתם מבינים שעשיתם טעות מכיוון שכולנו יודעים שפעולת הכפל היא חילופית: סדר פעולות ההכפלה לא חשוב. נסיון החיים שלנו מבוסס על כך שאנחנו חיים בגאומטריה חילופית, גאומטריה שבה סדר פעולות הכפל איננו חשוב, שתיים כפול חמש זה כמו חמש כפול שתיים. אולם האם הדבר הכרחי? האם תתכן גאומטריה שבה סדר הפעולות חשוב, כלומר שבה פעולת הכפל לא חילופית? האם ניתן לחשוב על עולם בו שתיים כפול חמש איננו חמש כפול שתיים? מסתבר שכן: מתימטיקאים יצרו גיאומטריה המתארת עולם שכזה.

אבל רגע, האם זה רלוונטי בכלל לעולם שלנו? הרי משחר ילדותינו, עוד בטרם למדנו לדבר, אנחנו יודעים שאם נזחל לרוחב ואחר-כך לאורך נגיע לאותו מקום אילו נזחל קודם לאורך ואחר-כך לרוחב.

פיזיקאים התחילו לדון (או אולי להשתעשע) ברעיון חוסר החילופיות של המרחב בעקבות פיתוחה של מכניקת הקוונטים במחצית הראשונה של המאה הקודמת. בבסיסה של המכניקה הקוונטית טבוע חוסר החילופיות של מדידת המיקום ומדידת המהירות  (ליתר דיוק, מדידת התנע). מכפלת המהירות במיקום איננה זהה למכפלת המיקום במהירות. איש בשם סניידר העלה בשנת 1947 את הרעיון שאולי בטבע לא רק תנע ומיקום אינם חילופים אלא גם אורך ורוחב. כיצד ייתכן הדבר? אם, למשל, ההפרש בין תוצאת מכפלת אורך ברוחב ובין תוצאת מכפלת רוחב באורך הוא קטן מאוד, יתכן ויחסית לגדלים אותם אנו מכירים הפרש זה זניח - אבל עבור שטחים קטנים מספיק הוא אינו זניח. סניידר פרסם את הרעיון הזה במאמר חלוצי [1] שנחשב לאנקדוטה שאיננה רלוונטית לעולמנו, זאת מאחר שחוסר חילופיות המרחב לא נמדד מעולם. המאמר של סניידר כמעט ונשכח.

רעיון הגאומטריה הלא-חילופית [2] קם לתחייה בעקבות עבודתם של שני הפיזיקאים התאורטיים החשובים נתן זייברג ואדוארד וויטן בשנת 1999. עד לעבודתם של זייברג ווויטן לא נערך מחקר עמוק לגבי השלכות גאומטריה שכזאת על הפיזיקה על החלקיקים. שנת 2000 היתה שנה מעניינת בתחום זה: מאות פיזיקאים, ביניהם כותב המאמר, עסקו בנסיון להבין מה קורה אם קיימת חוסר חילופיות קטנטנה במרחב בו אנו חיים. נניח למשל שחוסר החילופיות היא כך שהשטח המתקבל בהכפלת אורך ברוחב שונה מהשטח המתקבל בהכפלת רוחב באורך בשיעור מזערי של מליארדית המליארדית של מטר רבוע. האם נוכל להבחין בדבר? הכיצד?

באופן נאיבי, היינו יכולים לשער שאם מידת חוסר החילופיות היא מזערית אז לא נוכל להבין בכך. אולם למרבה הפלא התברר שקיימים אפקטים קוונטים עצומים הנובעים מחוסר חילופיות מזערי. הדבר קשור לתורת היחסות הפרטית של איינשטיין.

ביסודה של תורת היחסות הפרטית של איינשטיין העיקרון שכל מימדי המרחב זהים בתכונותיהם, בפרט שתכונות המרחב אינן משתנות אם מסובבים אותו. גאומטריה לא-חילופית איננה עומדת בקנה אחד עם תורת היחסות הפרטית, מאחר שאם נסובב את המרחב בתשעים מעלות נחליף בין אורך לרוחב. תורת היחסות הפרטית מאוד חשובה לחיי היומיום שלנו: כפי שנראה, אם תורת היחסות לא תקפה, הרי שחוקי האלקטרומגנטיות (בפרט החשמל) שונים ללא הכר מאלו המוכרים לנו.

אחת התוצאות המשונות שהתקבלו, כאשר עמיתיי ואנוכי ניתחנו את עולם החלקיקים בגאומטריה לא חילופית, הוא שחלקיק האור (הנקרא פוטון) חדל להיות חסר מסה אלא נהיה חלקיק טכיוני, כלומר חלקיק שהמסה שלו בריבוע היא שלילית. ומסתבר שלא רק שלילית אלא עצומה! ככל שהאפקט של חוסר החילופיות קטן יותר הפוטון הופך להיות יותר ויותר מוקצן. אלו הן חדשות רעות מאוד עבור האלקטרומגנטיות. בעולם בדיוני בו הפוטון הוא טכיון ולא חלקיק חסר מסה, חוקי האלקטרומגנטיות שונים לחלוטין מאלו שבעולמנו. בעולם שכזה לא ייתכנו אטומים ובוודאי לא ייתכנו בני-אדם שקוראים כתבות ב״מדע גדול, בקטנה״.

בעקבות ממצאי המאמרים שהתפרסמו בראשית שנות האלפיים השתכנעו הפיזיקאים שאנחנו חיים בעולם בו הגיאומטריה היא חילופית. ככל הנראה אורך כפול רוחב הוא כמו רוחב כפול אורך.

מקורות וקריאה נוספת:

[1] המאמר המקורי של סניידר ( H. S. Snyder, Phys. Rev. 71, 38 (1947.

[2] על פעולות חילופיות (קומוטטיביות)