הצבעה אסטרטגית במערכת בחירות היא מצב שבו לפחות אחד מהבוחרים "משקר", כלומר מצביע בצורה שונה מהעדפותיו האמיתיות, כדי להביא לתוצאה טובה יותר (מבחינתו). באופן אידיאלי, היינו רוצים שיטת בחירות שבה למצביעים אין אינטרס להצביע אסטרטגית. לצערנו, תוצאה מתמטית בשם משפט גיבארד-סאתרת'וויט [1] (Gibbard-Satterthwaite), מוכיחה שבכל שיטת בחירות שבה ישנם לפחות 3 מועמדים, ישנם מצבים בהם לאחד המצביעים כדאי לשקר (כל עוד לא מדובר בדיקטטורה).

נניח שבמשפחת חץ (אמילי, ברק וגדי) רוצים להזמין אוכל. לכל אחד מבני המשפחה יש דירוג העדפות שונה:

• אמילי הכי אוהבת פיצה, קצת פחות אוכל סיני, ובתחתית הרשימה המבורגר. נסמן זאת פיצה>סיני>המבורגר.
• הדירוג של ברק הוא סיני>פיצה>המבורגר.
• הדירוג של גדי הוא המבורגר>סיני>פיצה.

במשפחת חץ, שיטת הבחירות היא זו: כל מצביע נותן קול אחד לאחד המאכלים, ומזמינים את המאכל בעל המספר הגדול ביותר של קולות זוכה. אם יש תיקו, מזמינים פיצה (כי זה הכי מהיר).

לפיכך, בעת ההצבעה, אמילי מצביעה "פיצה" וברק מצביע "סיני". כעת, גדי שם לב שאם הוא יצביע "המבורגר", בצורה "כנה" לפי העדפותיו האמיתיות, אז כל אוכל יקבל בדיוק קול אחד, ולפי שיטת הבחירות שנקבעה, תוזמן פיצה. אולם אם גדי "ישקר", ויצביע "סיני", אז "סיני" יזכה בשני קולות, וינצח. מכיוון שגדי מעדיף סיני מאשר פיצה, הוא מחליט "להצביע אסטרטגית".

הדוגמה הזו היא פשטנית למדי, אולם לא קשה להראות מקרים שבהם הצבעה אסטרטגית לא תלוייה ב"שבירת שוויון", כפי שהוצג לעיל.

המשפט הנ"ל הוא חלק ממשפחה של משפטים הנקראים "משפטי אי-אפשרות" (Impossibility theorems), המצביעים על מאפייני שיטת בחירות שאינם יכולים להתקיים יחדיו (בפרט, המשפט לעיל נובע ממשפט שנקרא Arrow's impossibility theorem, ע"ש קנת' ארו, שבהמשך זכה בפרס נובל).

באופן מעט יותר מדוייק, המשפט אומר את הדבר הבא: במערכת בחירות שבה יש לפחות 3 מועמדים, ולכל מצביע יש דירוג מלא של המועמדים, אחד משני תנאים מתקיים:

• או שהמערכת היא דיקטטורית (כלומר המנצח נקבע לפי ההצבעה של אחד המצביעים, תוך התעלמות מכל שאר המצביעים),
• או שיש מקרים שבהם לאחד המצביעים כדאי להצביע בצורה אסטרטגית כדי לשפר את התוצאה מבחינת הדירוג שלו.

מה ההשלכות של המשפט על חיינו?

למשפטי אי-אפשרות יש השלכות מעשיות בתהליכי קבלת החלטות אוטומטיים. למשל, בתקשורת אינטרנטית, תעבורת הרשת נקבעת, בין השאר, לפי "הצבעות" של רכיבים שונים בתשתית התעבורה, ע"פ יכולות העברת המידע שלהם, ומגוון שיקולים כלכליים. באופן אידיאלי, היינו רוצים לתכנן את התעבורה כך שכל רכיב יצביע בצורה כנה ע"פ יכולות העיבוד, ולא יקרו מצבים שבהם רכיבים נמנעים מלהעביר מידע, או מושכים יותר מידע ממה שהם מסוגלים להתמודד איתו, כדי לשרת אינטרסים כלכליים. במקרים כאלו, משפטי אי-אפשרות הם מאוד מדאיגים, ומחקרים רבים עוסקים בדרכים לעקוף אותם, ולתכנן מנגנונים המעודדים כנות (הקרויים Strategyproof Mechanisms, או Truthful Mechanisms).

לגבי ההשלכות לתהליכי בחירות אנושיים, המצב פחות חמור:  ראשית, בבחירות אמיתיות אנחנו לא יודעים מה כל המשתתפים האחרים יצביעו, ואז המשפט לא תקף. שנית, המשפט אמנם אומר שבכל שיטת בחירות כנ"ל ישנם מצבים שבהם אפשר להצביע אסטרטגית, אולם זה לא אומר שבכל מצב יש אפשרות להצביע אסטרטגית. למשל, אם כמעט כל הבוחרים הצביעו לאפשרות א', אז לא משנה כמה אנסה לשקר, לא אוכל להטות את ההצבעה.

שלישית, גם אם היינו יודעים בדיוק איך האחרים מצביעים, מסתבר שלמצוא האם ישנה הצבעה אסטרטגית שתשפר את מצבנו אינה בעיה פשוטה (באופן כללי היא מה שנקרא "בעייה NP קשה") [2].

יחי המלך! (כמה מלים בשבח הדיקטטורה):

נזכיר שהמשפט אומר שכל שיטת בחירות נתונה להצבעה אסטרטגית, כל עוד היא אינה דיקטטורה. אם כך, מה בדבר דיקטטורה? בהגדרה המתמטית, דיקטטורה היא שיטת בחירות שבה תוצאת הבחירות נקבעת לפי ההצבעה של מצביע יחיד (שנקרא דיקטטור) [3], [4].
במבט ראשון, נראה שדיקטטורה היא שיטת בחירות גרועה (אם בכלל אפשר לקרוא לה שיטת בחירות). אולם זה לא לגמרי מדויק. ישנה שיטת בחירות שנקראת "דיקטטור רנדומי", שבה לאחר ההצבעה, מגרילים מי מבין המצביעים יהיה הדיקטטור, וההחלטה הסופית נקבעת לפי ההצבעה שלו. למשל, בשיטת הבחירות בישראל, דיקטטור רנדומי יהיה מצב שבו לאחר שכל המצביעים שמו את הפתקים שלהם בקלפי, בוחרים באקראי פתק ונותנים את כל הקולות למפלגה הרשומה בו.
לשיטה הזו יש מספר יתרונות: ראשית, היא אינה נתונה להצבעה אסטרטגית. תמיד כדאי להצביע בה לפי ההעדפות האמיתיות. שנית, אם הרבה מצביעים מעדיפים מועמד מסוים, אז בסיכוי גבוה אותו מועמד ייבחר (כי בסיכוי גבוה הדיקטטור שיבחר מצביע כמו הרוב). תכונה טובה נוספת היא שאם כל המצביעים מעדיפים את מועמד א' על פני מועמד ב', אז מועמד ב' בטוח לא ייבחר.

מאידך, החיסרון הבולט של השיטה הוא שקיים סיכוי שיבחר מועמד מאוד לא רצוי, אם הדירוג של הדיקטטור הנבחר שונה מהדירוג של הרוב.

ביבליוגרפיה:

[1] משפט Gibbard-Satterthwaite

[2] על הקושי החישובי בלהצביע אסטרטגית

[3] הצבעה אקראית

[4] הטעיית שיטת בחירות.