גוף סיבוב הוא גוף תלת ממדי הנוצר מסיבוב צורה דו-מימדיית סביב ישר, לדוגמה: גליל, חרוט, ביצה ואפילו אבטיח. ניתן לייצג גופי סיבוב באמצעות מודל מתמטי. המתמטיקה יכולה לסייע, לדוגמה, לחלוקה צודקת של האבטיח לפלחים, אולם קשה יותר להשתמש במודל מתמטי לחיתוך גופי סיבוב מורכבים יותר כמו למשל אגרטלים.

דענים ומתמטיקאים מתפנים לעיתים מעיסוקיהם החשובים כדי להדגים לציבור, ובעיקר לתלמידים, את שימושי המדע בחיי היום-יום, או לפחות להשתעשע קצת. קבוצת פיזיקאים מבלגיה, צרפת ואיטליה התמודדה לאחרונה עם אתגר עסיסי: כיצד לחתוך אבטיח למספר פלחים שווים בנפחם [1]. נדמיין שעל שולחן מונח חצי אבטיח, שנחתך דווקא לאורכו, ואנו רוצים לחלק אותו לארבעה פלחים. אפשר למדוד את אורך האבטיח באמצעות סרגל, לסמן ארבעה חלקים שווים באורכם, לחתוך בהתאם לפסים, ולקבל ארבעה פלחים (איור 1). אולם יש בעיה: כיוון שיש לאבטיח צורה עגלגלה, הפלח הראשון שקרוב לקצה יהיה קטן בנפחו מהפלח השני שקרוב למרכז. אז היכן צריך לסמן את הפסים כדי לקבל פלחים השווים בנפחם? 

איור 1

כדי לפתור את הבעיה צריך למדל אותה. כלומר, לתאר אותה בצורה מתמטית. אם נסתכל מלמעלה על חצי אבטיח, נראה שיש לו צורה המזכירה אליפסה. כיצד זה עוזר? 

גופים תלת ממדיים המתקבלים על ידי סיבוב צורה דו-ממדית סביב ישר הקרוי ציר הסיבוב, נקראים במתמטיקה גופי סיבוב (איור 2). אם נסובב למשל מלבן סביב ישר החוצה אותו נקבל גליל, ולפיכך גליל הוא סוג של גוף סיבוב. אם נתבונן על האבטיח מהצד, נראה שגם לו בדומה לביצה או לכדור בייסבול, יש צורה של גוף סיבובי, הנקרא בלשון מתמטיקאים ספרואיד, גוף המתקבל על ידי סיבוב אליפסה סביב ציר סימטריה שלה. מכאן, נוכל להגדיר את הבעיה באופן מתמטי: "כיצד נחתוך חצי ספרואיד, כך שנפח כל חלק שנחתך יהיה רבע מהנפח הכולל?".

איור 2

מסתבר שהפתרון פשוט למדי, וניתן לפתור את הבעיה באמצעות מתמטיקה ברמה תיכונית על ידי שימוש באינטגרלים. הפיזיקאים פתרו וגילו שבמקום לחתוך את הפרוסה הראשונה במקום שהוא רבע מהאורך, יש לחתוך אחרי בערך שליש. לדוגמה: עבור אבטיח באורך 21 ס"מ, במקום לחתוך אחרי 5.25 ס"מ, הם חתכו אחרי 7 ס"מ. לבסוף, הם בדקו את הפתרון באמצעות ניסיונות, והשתמשו בשיטה הקלאסית המיוחסת לארכימדס למדידת נפחים: הטבעת כל פרוסה בקערה עם מים, ובדיקה בכמה עלה המפלס. נמצא שהתוצאה אכן התאימה למודל המתמטי (איור 3).

איור 3

כשניסינו לחפש דוגמאות אחרות לגופי סיבוב, לא היינו צריכים ללכת רחוק: כשמתבוננים על כלי מטבח, למשל בקבוקים, ספלים ואגרטלים, רואים שלמרות מורכבותם, הם עשויים מגופי סיבוב. כיצד זה מתאפשר?

השיטה המסורתית ליצירת כלים כאלו היא באמצעות מכשיר בשם אבניים, המשמש קדרים כבר כחמשת אלפים שנה ליצירת כלי חרס, ואמנים משתמשים בו גם כיום. על גלגל מסתובב שמים חומר קרמי רטוב ובאמצעות תנועות ידיים, מייצרים הקדרים צורות ייחודיות של גופי סיבוב. לאחר מכן, הם מייבשים את הכלים בתנור, ואחרי מספר שלבים נוספים מקבלים את כלי החרס, כפי שאנו מכירים ואוהבים.

בעייה שאולי תעניין פיזיקאים ומתמטיקאים היא המרכוז: ברגע שמטיחים את החומר הרטוב על הגלגל המסתובב, יש לדאוג שהוא יתרכז באופן סימטרי סביב המרכז, אחרת עלולים להיווצר סדקים בזמן הייבוש. בהסתכלות מלמעלה, קל להבחין איפה אין סימטריה סיבובית - המקומות בהם מבחינים בתנועה. כדי למרכז, צריך להזיז את החלקים בחומר הפוגעים בסימטריה, פעולה שקשה לעשותה כשיש הרבה חומר על הגלגל. מה לעשות? 

פתרון שנמצא הוא לעבור לתלת-מימד: באמצעות לחיצה בצדדים תוך כדי תנועה, החומר עולה כלפי מעלה ונוצרת צורה של צינור דק עם שטח מגע קטן, אותה קל למרכז בתנועות האצבעות . לאחר שהצינור מורכז, הקדרים משטחים שוב את החומר באמצעות ידיהם המיומנות, בהדרגה ובזהירות, תוך שמירה על המרכוז (ראו סרטון).

הכלים הנוצרים בתהליך זה הם גופי סיבוב, אבל בניגוד לאבטיחים שהם בקירוב בצורת ספרואידים, צורת כל כלי היא ייחודית בהתאם למגע יד האמן. לכן קשה לבנות להם מודל מתמטי, למרות שניתן לעשות קירובים באמצעות פולינומים.  גם אם תעשו מידול,  כאשר תתכננו כיצד לחתוך את האגרטל שלכם לארבע חלקים שווים, לא תקבלו כנראה פתרון מתמטי אלגנטי כמו בחלוקת פלחי אבטיח. אז עדיף אולי לוותר, להסתכל על האגרטל בשלמותו ולהנות מיצירת האמנות.

צילום האבטיח תחת רישיון Creative Commons 4.0 BY-NC

מקורות:

1. The best way to slice a watermelon, how to float yourself with balloons, shining light on whisky

2. How to fairly share a watermelon