מספרים על צעיר יהודי שנשלח למחנה בסיביר. לפני לכתו הוא שאל את רבו: "רבי, יכול אני לקחת איתי רק דף אחד. מה כדאי לקחת? פרק מהתנ"ך? אולי דף מסידור התפילה?" ענה הרב: "קח איתך את לוח השנה: כך תוכל לספור ימים, לדעת מתי חלים החגים ולהרגיש שייך". ואכן, ללוח השנה, ובמיוחד ללוח העברי, יש חשיבות לחיבור בין אנשים ולהרגשת שייכות גם במרחקים. נספר על פיתוח הלוח ועל המתמטיקה שמאחוריו.

הפוסט נכתב בשיתוף רוני רונן (כותב אורח).

לוח השנה נועד לארגן את חיינו, תוך סנכרון עם אירועים מחזוריים כמו מסלול הירח סביב כדור הארץ ("לוח ירחי"), מסלול כדור הארץ סביב השמש ("לוח שמשי") או שילוב בין שניהם, כמו למשל בלוח העברי. תכנון הלוח הוא משימה מורכבת הדורשת שימוש רב במתמטיקה עקב השונוּת בזמני המחזור: הירח מקיף את כדור הארץ בממוצע בערך כל 29.53058 ימים, וכדור הארץ עושה הקפה סביב השמש בערך כל 365.24219 ימים. (הערה: החישוב האסטרונומי מורכב יותר, והמספרים מתייחסים לזמן המחזור, שבו אנו צופים בחזרת המופעים של הירח והשמש.)

בלוח שנה ירחי, חודש מוגדר כמספר שלם של ימים, אולם זמן ההקפה של הירח סביב הארץ הוא מספר שאינו שלם בין 29 ל-30 יום. מה עושים? בדומה למחקר מדעי, יש שתי דרכים לפתרון: תצפיות בשטח או בניית מודל מתמטי. השיטה הקדומה הייתה תצפיות: בתום 29 ימים בחודש התבקשו האנשים להתבונן בשמיים. אם מישהו היה רואה את הופעת הירח, הוא היה מתבקש להתייצב להעיד בפני שופטי בית הדין, והללו היו פוסקים שתם החודש, ואורכו 29 יום. אם לא נמצאה עדות מתאימה, השופטים היו מחליטים שהחודש יגמר למחרת, ואורכו לפיכך 30 יום. אגב, השיטה הקדומה דומה לשיטה לציור גרפים במחשב [1], ובדומה למחשב, האתגר בחישוב לוח שנה הוא שבסוף צריך לעגל למספרים שלמים.

שיטת התצפיות היתה בשימוש במשך דורות, אולם בשנת 359 לספירה לערך חל המהפך, ומודל מתמטי החליף אותה. הייתה זו תקופה קשה לעם ישראל: הנצרות זכתה להגמוניה באימפריה הרומית ששלטה בארץ, היהודים בארץ נרדפו, ורבים מהם עזבו או הוגלו. נשיא הסנהדרין, הלל נשיאה שמו [2], הוביל שיטה חדשה לקביעת לוח השנה ללא תצפיות, שניתן להשתמש בה גם כשהסנהדרין אינו מתכנס. לצערנו לא נשארו עדויות על חייו ופועלו של הלל נשיאה, שכנראה לא עסק ביחסי ציבור ולא פרסם מאמרים, ואנחנו רק יכולים לדמיין אותו כמתמטיקאי הסוקר לוחות אסטרונומיים ופותר משוואות. 

האתגר הראשון בבניית המודל היה לקבוע את אורכו של כל חודש, 29 או 30 יום. אם זמן ההקפה היה בדיוק 29.5 אפשר היה להחליט בפשטות על "זיגזג" - חודש באורך 29 יום, ואחריו 30. כיוון שזה לא כך הוחלט שמשכם של רוב החודשים אכן יוגדר לסירוגין, אולם אורכם של החודשים חשון וכסלֵו ישתנה, כדי לאפשר קיזוז לטעויות שנוצרות.

בעיה אחרת, מאתגרת יותר, הייתה הסנכרון בין לוח השנה השמשי ללוח הירחי. בלוח השמשי, אורך השנה, הזמן שבו מקיף כדור הארץ את השמש, הוא בערך 365.24219 ימים. לעומת זאת, 12 חודשי ירח הם רק 354.3670 יום, וכך נוצר פער של כ-11 ימים בשנה שצריך לתקן. ללא תיקון זה הייתה נוצרת תזוזה הדרגתית של החגים והמועדים ביחס לעונות השנה, ובסופו של דבר, למשל, חג הפסח, חג האביב, היה נחגג בחורף - כמו בלוח המוסלמי, שבו צום הרמדאן, לדוגמה, נע לאורך השנה. לצורך התיקון הוחלט לקבוע בכל כמה שנים שנה מיוחדת, "שנה מעוברת", שבה נוסף חודש ("אדר א"). האתגר המתמטי היה לקבוע בכל כמה זמן לשלב אותה [3]. 

המתמטיקאים היהודים טרחו ומצאו, ללא שימוש באקסל או במחשבון! שפער הימים הוא 36.8266% מאורך חודש. הם גילו גם שיחס זה ניתן לביטוי בקירוב באמצעות שבר: 7/19. זה אולי לא נשמע כך, אבל מציאת הקירוב הייתה פריצת דרך גדולה, כפי שיעיד למשל מי שעוסק בתכנון רכיבים אלקטרוניים שעובדים בקצבים שונים, שכן הפתרון הזה אפשר סנכרון בזמנים קבועים. בהתאם לכך הוחלט שבכל מחזור של 19 שנים ישולבו 7 שנים מעוברות, שיפוזרו בצורה די אחידה להקטנת השגיאה המצטברת. בשיטה זו נשמר הסנכרון של הלוח העברי עם עונות השנה.

לאחר ששתי הבעיות הגדולות נפתרו התברר שישנם עוד אתגרים וצריך גם לסנכרן את לוח השנה לימות השבוע. לדוגמה, כדי למנוע מצב של יומיים רצופים שבהם אסור לבשל, צריך שיום כיפור לא יחול ביום שישי או ראשון. למזלם של המתכננים, המפרט שהוגדר עבור לוח השנה כלל גמישות בקביעת אורכם של החודשים חשון וכסלֵו, ובאמצעותה ניתן לפתור את המשוואות המתאימות ולעמוד באילוצים. מתמטיקה שימושית בהתגלמותה.

בנוסף ללוח העברי, יש לוחות שנה אחרים שגם להם יש היסטוריה מעניינת ובעיות דומות של סנכרון. גם בלוח השנה האזרחי המבוסס על זמן הקפת השמש יש צורך לבצע תיקונים, כיוון שזמן ההקפה אינו מספר שלם של ימים. לשם כך נבנו מנגנוני תיקון הכוללים שנים מעוברות, שבהן חודש פברואר, הקצר בחודשים, מתארך ביום.

הודות לכל החישובים הללו, כשתצאו החוצה בערב ראש השנה תוכלו לראות את הירח החרמשי מתחיל להופיע בשמיים, כשתצאו בליל הסדר תראו ירח מלא וגם תזכו להריח את ניחוח האביב. וכשתשבו לסעודות החג תדעו שיהודים רבים בכל רחבי עולם חוגגים ממש באותו הזמן.

מאת דורון אורנשטיין ורוני רונן (כותב אורח).

הערות:

1. אלגוריתם DDA

2. הלל נשיאה

3. שנה מעוברת