בספר "מבעד למראה ומה אליס מצאה שם" מספרת המלכה הלבנה לאליס: "כשהייתי בגילך... לפעמים הצלחתי להאמין בשישה דברים בלתי אפשריים עד ארוחת הבוקר" [1]. האם תלמידים שפותרים תרגילים כמו: 60 = (2- ) / (120-) מצליחים להעלות בדמיונם בעיות כמו: "נתונות מינוס מאה עשרים סוכריות, ומחלקים אותן למינוס שני חברים, כמה סוכריות מקבל כל חבר?" וברצינות, מתי השתמשתם לאחרונה בחיי היומיום במספרים שליליים - בפעולת חילוק למשל?

תחילה ניזכר בשימושים במספרים שליליים בעבר ובהווה. מספרים שליליים אינם מייצגים גדלים מוחשיים, ובהיסטוריה הקדומה של התרבות המערבית הם לא נחשבו אמיתיים. דיופנטוס, בן המאה השלישית, התייחס בספרו "אריתמטיקה" [2] למשוואה שפתרונה הוא מספר שלילי ( 4x + 20 = 4), וציין שזו "משוואה אבסורדית".

לעומת זאת בסין, כבר במאה ה-2 לפנה"ס, נעשה שימוש במספרים שליליים לצורכי חישובים: מוטות אדומים סימנו מספרים חיוביים ושחורים מספרים שליליים. אולם גם שם, המספרים השליליים הוכרו כלגיטימיים בשלבי הביניים של פתרון בעיה, ולא כפתרון סופי. במאה השביעית התייחסו מתמטיקאים הודים למספרים שליליים כאל חוב, וזה היה השימוש המקובל שלהם לאורך שנים [3]. במשך שנים רבות הייתה התייחסות שלילית למספרים השליליים, ונותרו שלל עדויות על מתמטיקאים שנמנעו מלהשתמש בהם בצורה מפורשת (כמו ג'ירוֹלָמוֹ קַרדָאנוֹ [4]) או קראו למספרים שליליים בשמות גנאי ("אבסורדיים", "לא הגיוניים"). 

עם עלייתה ההדרגתית של האלגברה המופשטת, שנתנה לגיטימציה לשימוש במתמטיקה במנותק משימוש יום-יומי קיבלו מספרים שליליים מקום של כבוד לצִדם של המספרים הדמיוניים שקשה אף יותר לתפוס אותם - המספרים שהעלתם בריבוע נותנת מספרים שליליים. המתמטיקאים ודאי התמוגגו מנחת כשנוכחו שהמספרים השליליים מתחברים בהרמוניה לחיוביים, והם משמרים את התכונות המתמטיות שלהם. 

אולם השימוש הנרחב במספרים שליליים החל בעקבות הפיתוח של חשבון אינטגרלי ודיפרנציאלי, שבו מספרים שליליים משחקים תפקיד מרכזי. למשל, בבניית מערכת צירים ובמציאת תחום הירידה של פונקציות. גוטפריד וילהלם לייבניץ (1646- 1716) [5 ] היה המתמטיקאי הראשון שהשתמש בהם בצורה קוהרנטית. שימוש נרחב נעשה גם בפיזיקה, שבה משתמשים למשל בטמפרטורה שלילית או במהירות שלילית שמתארת תנועה בכיוון הפוך. 

בימינו, רוב החישובים נעשים באמצעות מחשבים המערבִים מספרים חיוביים ושליליים [6]. דמיינו מחשב שעוקב אחרי מכונית חשודה. המיקום בזמן t=0 הוא x=0. שעתיים אחרי, המכונית נמצאת מזרחית משם (כיוון חיובי של ציר x) במיקום  x=120 ק"מ. מה מהירותה? המחשב מציב נתונים בנוסחה הפשוטה ומקבל תשובה: 120/2= 60 קמ"ש ולכן בזמן t=10 שעות המכונית תהיה כנראה בנקודה x=600 ק"מ.

סיפור אחר: בזמן t=0  המיקום x=0. אולם המחשב מקבל דיווח שכשעתיים לפני כן (כלומר בזמן t=-2) המכונית נמצאה 120 ק"מ מערבית (כלומר: בנקודה x=-120). המחשב מציב באותה נוסחה, פותר את התרגיל של כיתה ז: מינוס מאה עשרים חלקי מינוס שתיים ומקבל תוצאה זהה.

סיפור אחר: בזמן t=0, המיקום x=0. אולם התקבל דיווח שהמכונית הייתה בזמן t=-2  מזרחית בנקודה x=120 ק"מ, ולכן מהירותה 120 מחולק  במינוס 2 שזה מינוס 60, כלומר היא נעה במהירות 60 קמ"ש מערבה, ובזמן t=10 היא תגיע לנקודה x=-600 ק"מ.

מרגישים מבולבלים? המחשבים לא. ואכן, גם המתמטיקאים וגם המתכנתים יכולים להיות מרוצים: הנוסחאות זהות עבור מספרים שליליים וחיוביים. כאשר בוחנים כל מקרה באופן פרטני ופותרים ידנית אין צורך להציב במחשבון מספרים שליליים, שכן אפשר לחלק במספרים חיוביים ולהבין בהתאם לכל מקרה מה כיוון הנסיעה. לעומת זאת, תוכנות עושות הצבה אוטומטית בנוסחאות, ולכן הן מחלקות לפעמים גם במספרים שליליים.

אם כן, בימינו שילוב של מספרים שליליים וחיוביים לצורך חישובים הוא בדרך כלל נחלתם של מחשבים שעושים זאת באופן אוטומטי [6]. בשנים האחרונות נעשו מחקרים רבים על שימושי מתמטיקה במקצועות אקדמאיים [7], ושלא במפתיע גילו שרוב העובדים לא עושים חישובים ידניים, אלא נעזרים בתוכנות. אולם, לשם כך הם צריכים לפתח ולקודד נוסחאות בתוכנה או בכלים כמו אקסל, לוודא שהתוצאות יצאו הגיוניות, ולתקן טעויות לפי הצורך. לשם כך צריך עדיין לזכור, למשל, ש: 60 = (2- ) / (120-).

הערות:

1. תרגום: רנה ליטוין

2. הספר "אריתמטיקה" של דיופנטוס
3. ההיסטוריה של מספרים שליליים – ויקיפדיה
4. המתמטיקאי ג'ירוֹלָמוֹ קַרדָאוֹ
5. גוטפריד וילהלם לייבניץ
6. דיון בפורום מתמטי – חלוקה בשליליים
7. מחקר על שימושי מתמטיקה בהנדסה