תורת היחסות הכללית והגאומטריה של המרחב
05/08/2020
בשיעורי הנדסה בבית-הספר מלמדים אותנו שקווים מקבילים אינם נפגשים, שסכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות, את משפט פיתגורס ושהיקף המעגל הוא הקוטר כפול פאי. כל זה מתקיים ב״גאומטריה אוקלידית״, אולם תורת היחסות הכללית של איינשטיין מבוססת על הרעיון שהגאומטריה ביקום היא שונה, גאומטריה ״לא אוקלידית״ בה מתקיימים חוקי מתמטיקה שונים.
לאחר שהשלים אלברט איינשטיין את עבודתו על תורת היחסות הפרטית בשנת 1905 [1,2], הוא החל לעמול על ניסוחה של תורת היחסות הכללית. הוא סיים את עבודתו ופרסמה בשנת 1915.
ביסודה של תורת היחסות הפרטית העיקרון שחוקי הטבע צריכים להראות אותו הדבר לצופים הנעים במהירות קבועה אחד ביחס לשני. תורת היחסות הכללית היא פרויקט שאפתני הרבה יותר והיא עוסקת בשאלה כיצד לנסח את חוקי הטבע כאשר צופים מאיצים [3]. בפרט התעניין איינשטיין בשאלה כיצד קשורה תופעת הכבידה לתאוצה והוא הגיע לניסוח רעיון ״עקרון השקילות״, המבוסס על תובנות קודמות כבר מתקופתו של גלילאו גליליי: כאשר גוף מאיץ ניתן לחשוב על התופעה כעל הפעלת כוח כבידה על הגוף. לדידו של איינשטיין אין הבדל בין תאוצה לבין כבידה.
כמו כן מסתבר שבכדי לענות על השאלה של ניסוח חוקי הטבע בשל תאוצה או בשל כבידה, יש להיעזר בגאומטריה ״לא אוקלידית״, אותה הזכרנו בפתיחה.
מהי גאומטריה לא אוקלידית? תחילה נתאר את הגאומטריה האוקלידית [4].
הגאומטריה האוקלידית נקראת על שם אוקלידס שסיכם אותה בספר ״יסודות״ לפני כ-2300 שנה [5]. היא מבוססת על מספר אכסיומות (הנחות בסיסיות שלא ניתנות להפרכה), הרלוונטית ביותר לצורך הדיון כאן היא ״אכסיומת המקבילים״, המגדירה מהם קווים מקבילים: ״אם קו החותך שני קווים ישרים יוצר שתי זויות בצד מסוים שסכומן פחות ממאה שמונים מעלות, הרי ששני הישרים, אם אורכם אינסופי, ייפגשו באותו הצד״.
עד למאות ה-18 וה-19 נחשבה אכסיומת המקבילים כה הגיונית וטבעית עד שמתמטיקאים סברו שאולי היא מיותרת ונגזרת מהאכסיומות האחרות שהניח אוקלידס. נסיונותיהם כשלו. המתמטיקאי הדגול גאוס ותלמידו רימאן העזו לחשוב שאולי ניתן להחליף את אכסיומת המקבילים באכסיומה אחרת, כלומר לבסס גאומטריה אחרת בה אכסיומת המקבילים של אוקלידס איננה מתקיימת.
הבה נדון בדוגמא לגאומטריה לא אוקלידית: דמיינו לכם אדם המתהלך על כדור-הארץ בין קו המשווה הישר לקוטב הצפוני בדרך הקצרה ביותר, כלומר הוא נע כל הזמן צפונה. כעת תארו לכם את חברתו הנמצאת בתחילה מרחק שני מטר שמאלה ממנו על קו המשווה. גם היא נעה הישר צפונה אל עבר הקוטב הצפוני בדרך הקצרה ביותר. לכאורה הם נעים במקביל אחד לשניה ואף על פי כן הם יפגשו בקוטב הצפוני. זוהי דוגמא לקוים (לכאורה) מקבילים שנפגשים, אך אין סתירה לאכסיומת המקבילים של אוקלידס מאחר והגאומטריה של המישור עליו מתהלכים בני הזוג איננה גאומטריה אוקלידית - שכן כדור הארץ איננו שטוח. נשים לב שהקוים עליהם נעים בני הזוג והקו הנוסף המקשר ביניהם על קו המשווה מתארים משולש שסכום הזויות בו גדול מ-180 מעלות, ראה איור:
כמו כן אנקדוטה משעשעת היא שהיקף קו המשווה הוא פי שניים מקוטר המעגל ולא פאי, זאת כאשר הקוטר מוגדר כישר המחבר בין שתי נקודות המרוחקות על פני קו המשווה מרחק מקסימלי זאת מזאת, ראה איור:
יותר מ-2000 שנה אחרי אוקלידס, רימאן הגה גאומטריה משלו הנקראת כיום ״גאומטריה רימאנית" [6]. בבסיסה הרעיון שהמרחב איננו שטוח אלא עקום, למשל כפני השטח של כדור-הארץ. בגאומטריה הרימאנית מידת העקמומיות הינה תכונה המשתנה כתלות במיקום. בתחילה נחשבה הגאומטריה הרימאנית כתיאוריה מתמטית שאיננה רלוונטית לעולמנו.
במאה העשרים התברר שתורת היחסות הכללית של איינשטיין מבוססת על גאומטריה רימאנית. על-פי תורת היחסות אנו חיים במרחב-זמן בעל ארבעה מימדים: שלושה ממדי מרחב וממד זמן. עקמומיות המרחב הארבע מימדי בכל נקודה נקבעת על פי צפיפות האנרגיה באותה נקודה. ככל שצפיפות האנרגיה גבוהה יותר המרחב יהיה עקום יותר.
המחשה אינטואיטיבית לרעיון העומד בבסיס תורת היחסות והגאומטריה היא כדלקמן: תארו לכם סדין מתוח, כלומר שטוח. כעת נניח במרכזו חפץ כבד. הסדין יתעקם כך שליד החפץ העקמומיות תהיה גדולה וככל שנתרחק מהחפץ הסדין יחזור להיות פחות ופחות עקום.
לטענה שהמרחב בו אנו חיים איננו אוקלידי השלכות אמפיריות חשובות מאוד. תופעות חשובות כגון הסחת האור בקרבת מסות, התפשטות היקום וקיומם של חורים שחורים, כל אלו מוסברים בעזרת גאומטריה רימאנית. אנקדוטה מעניינת היא שאם נמדוד את ההיקף של מעגל גדול סביב השמש הוא לא יהיה בדיוק פאי כפול הקוטר, שונה במקצת ממה שלימדו אותנו בשעורי הנדסה בבית-הספר.
במאמר קצר זה למדנו שהגאומטריה בה אנו חיים איננה אוקלידית. האפקטים של תורת היחסות הכללית הופכים להיות משמעותיים בקרבת מסות צפופות מאוד, למשל בתוך חור שחור. המעוניינים לחוות חיים בגאומטריה רימאנית מוזמנים לצלול לתוך חור שחור.
[4] אוקלידס
פרופסור לפיזיקה תאורטית של חלקיקים אלמנטריים באוניברסיטת סוונסי. בעבודתו עוסק עדי בכרומודינמיקה קוונטית ובתורת המיתרים
