ללחוש לפרבולות
08/07/2020
למראות פָּרָבּוֹלִיוֹת יש שימושים רבים. נספר על שלושה: לחישה לחברים במוזיאוני מדע, זיהוי מטוסים גרמניים וסיוע בבניית טלסקופים משוכללים.
במוזיאוני מדע רבים בעולם מציגים לראווה זוג צלחות ענקיות הניצבות לקרקע. כשתתקרבו אליהן תגלו שיש בהן קסם: כאשר תעמדו במקום מסומן בסמוך לצלחת אחת, ותבקשו מחבר לעמוד ליד הצלחת השנייה המרוחקת ממנה, תגלו שכל לחישה תישמע באופן ברור באוזני החבר, למרות המרחק ביניכם. מה פשר התופעה? אין כאן מיקרופונים חבויים, רק נפלאות המתמטיקה והפיזיקה!
בשנות ה-30, לפני מלחמת העולם השנייה, חיפשו הבריטים דרכים לאתר מטוסים גרמניים שמתקרבים לאי. המכ"ם טרם הומצא ושימוש בצופים אינו יעיל בלילה ובתנאי מזג אוויר קשים. אפשרות אחת היא להקשיב לרעש המטוסים כדי לגלות את מיקומם. אמנם גלי הקול מתפשטים לכל כיוון ונחלשים כשמתרחקים, אולם האנגלים בנו מבנה בטון ענקי בצורת צלחת, שריכז והחזיר את גלי הקול שפגעו בו - למעשה "מראָה אקוּסטית". גלי הקול שהוחזרו התרכזו באזור מצומצם שבו אפשר היה למקם מיקרופון. על ידי שימוש בצלחות כאלו הצליחו הבריטים לקלוט רעשי מטוסים אפילו ממרחק של 30 קילומטרים [1].
בדומה לצלחות הללו, גם הצלחות במוזיאון הן מראות אקוסטיות הבנויות בצורת עקום הנקרא פרבולה, או ליתר דיוק, פרבולה שעשתה סיבוב סביב צירה הנקראת "פרבולואיד". כשאתם עומדים ליד בטן צלחת כזאת, בנקודה מיוחדת הנקראת "נקודת המוקד", ולוחשים, גלי הקול שלכם מתפשטים לכל עבר. חלק מהם פוגע במקומות שונים בצלחת, ועקב תכונות הפרבולה גלים אלו מוחזרים בצורת קווים ישרים המקבילים לקרקע, והם עושים את דרכם היישר לצלחת השנייה. גם הצלחת השנייה בנויה בצורת פרבולה. גלי הקול המקבילים שפוגעים בבטנה סוטים ממסלולם ומגיעים לאוזניו של חברכם העומד בנקודת המוקד של הפרבולה השנייה. אנרגיית הקול שהגיעה לאוזנו של חברכם התפצלה בדרך לחלקים רבים שנעו במסלולים שונים. חלק, למשל, פגע בסמוך למרכז הצלחת וחלק ליד השוליים. אולם עקב התכונות המתמטיות של הפרבולות, כל המסלולים הללו שווים באורכם ולכן כל החלקים מגיעים לאוזנו של החבר בו-זמנית, ומתחברים יחדיו לצליל ברור ועוצמתי (ראו ציור ואפליקציה מגניבה).
לפי תופעה פיזיקלית ידועה, גלים, כמו למשל גלי קול, גלי אור או גלי רדיו, מוחזרים כך שזווית ההחזרה שווה לזווית הפגיעה, בדומה לכדורי ביליארד. אולם מה קורה כשהמשטח אינו ישר? לשם כך נדמיין שאנו בונים את הצלחת מהרבה מראות אקוסטיות קטנות ושטוחות ומכוונים כל אחת מהן בזווית מתאימה כך שהקול שלכם, שיוצא מנקודת המוקד ופוגע במראה, יוחזר בקו ישר המקביל לקרקע לכיוון הצלחת השנייה. אם נשים עוד ועוד מראות ונקטין אותן נגלה שהשיפוע של כל מראה מתקרב לשיפוע המשיק לפונקציית הפרבולה.
בשל המצאת המכ"ם אין היום צורך רב במראות אקוסטיות, ושימושן העיקרי הוא לרגש מתמטיקאים ופיזיקאים חובבי פרבולות המבקרים במוזיאונים. אולם למראות פרבוליות יש שימוש נרחב בתחומים רבים, למשל כקולטי גלים. כאמור, בזכות הצורה המיוחדת של הפרבולה, גלים מקבילים הפוגעים בבטן צלחת פרבולית נשברים ומתרכזים בנקודת המוקד של הפרבולה. אם במקום מראה אקוסטית נשים מראה פרבולית שמחזירה אור, נגלה שקרני אור הבאות ממקום מרוחק (ולכן כמעט מקבילות) שפוגעות במראה, נשברות ומתרכזות בנקודת המוקד. כלומר, המראָה הפרבולית מתפקדת למעשה כעדשה מרכזת, רק שבניגוד לעדשות רגילות כמו אלו שבמצלמות, היא עושה זאת ללא צורך במעבר דרך תווך אופטי שקוף, כמו זכוכית או פלסטיק.
למראות פרבוליות יש שני יתרונות מרכזיים על פני עדשות, שבאים לידי ביטוי כשנדרש דיוק גבוה, כמו למשל בטלסקופים מודרניים. ראשית, למראות אין את הפגם שיש לעדשות הנקרא "אברציה כרומטית" [2], פגם שנוצר מכיוון שאור באורכי גל שונים נע במהירות שונה דרך תווך שקוף, ולכן כמעט כל עדשה מתפקדת קצת כמו מנסרה שמפצלת אור לצבעים, כלומר לאורכי הגל השונים המרכיבים אותו. היתרון השני קשור לצורה הפרבולית שלהן. הרוב המוחלט של העדשות בעולם הוא עדשות סְפֵרִיוֹת, כלומר יש לעדשות צורה של כיפה כדורית, בשל התהליך המסובך של ייצור וליטוש עדשות אשר מקשה מאוד על יצירת עדשות בעלות צורה שונה מכיפה כדורית. לעדשות סְפריות ישנם עיוותים (אברציות) מיוחדים משלהן [2] הנובעים מכך שקרני אור המגיעות מקצות העדשה מתרכזות בנקודה מעט שונה מאלו המגיעות ממרכז העדשה, כך שבמקום תמונה חדה נקבל תמונה קצת מרוחה. כדי לתקן אברציות סְפריות צריך להשתמש במערך מורכב של עדשות סְפריות שונות, כמו באובייקטיבים של מצלמות DSLR. לעומת זאת, במראה פרבולית כל קרני האור המקבילות מתרכזות בנקודת מוקד אחת, כך שמתקבלת תמונה חדה וברורה.
אז איך מייצרים מראות פרבוליות? הרי אמרנו שקשה מאד ללטש צורות שאינן סְפריות. כאן באה שוב הפיזיקה לעזרתנו: אחת השיטות היא לא ללטש כלל! ניתן לקבל מראה פרבולית על ידי סיבוב של נוזל מחזיר אור (למשל כספית) סביב הציר האופטי של המראה. הסיבוב מפעיל כוח צנטריפטלי על הנוזל וגורם לו להסתדר בצורה של פרבולואיד מושלם. מהירות הסיבוב מגדירה את מידת הקמירות של הפרבולואיד [3].
לסיכום, הצורה המיוחדת של מראה פרבולית מעניקה לה יכולות חשובות ומאפשרת, בין השאר, לייצר טלסקופים בעלי איכות תמונה יוצאת דופן [4]. אז בפעם הבאה שחבר ישאל אתכם, "למה מעניין ללמוד על פרבולות?" תוכלו להצביע לעבר השמיים וללחוש לו (באוזן או דרך מראה אקוסטית): "כדי שנוכל לראות את היקום".
היכנסו לאפליקציה, שממחישה היטב את פעולת המראות הפרבוליות
קישורים ומקורות:
דוקטור למתמטיקה יישומית, בוגר הטכניון בחיפה. פוסט-דוקטורנט ב MIT, חוקר תופעות מתח פנים ואנלוגים הידרו-דינאמיים למערכות קוונטיות.
מהנדס מחשבים, חוקר ויזם בתחום החינוך המתמטי.
