אומנות אילוצית (Constrained art) היא יצירה בה האמן מנסה לייצר אמנות מקורית תחת אילוצים והגבלות מוגדרים היטב. האילוצים על היצירה יכולים להיות מגוונים מאוד. בשירת הייקו יש הגבלה על מספר ההברות, הגבלות אחרות יכולות להיות איסור על שימוש באותיות מסוימות, ציור בקווים ישרים או בנקודות בלבד ועוד. רעיון נחמד לאילוץ בציור הוא הגדרות מתמטיות. בכתבה נדגים איור המוגבל בציות למשפט מסילת ז'ורדן ונגדיר מהי מסילת ז'ורדן.

מסילת ז'ורדן היא קו לא בהכרח ישר (מסילה) המתחיל ומסתיים באותו מקום ואינו חותך את עצמו.

משפט מסילת ז'ורדן קובע שכל מסילת ז'ורדן מחלקת את המישור לשני תחומים: התחום ה"פנימי" הסגור, והמשלים שלו – התחום ה"חיצוני" הפתוח. התחום הפנימי והחיצוני קשירים. תחום קשיר הוא תחום המורכב מיחידה אחת. כלומר, לכל  שתי נקודות יש מסלול שמחבר ביניהן שכולו בתוך התחום (ראו איור 1).

איור 1: בתמונה ניתן לראות שתחום A קשיר ותחום B אינו קשיר

למרות ההגדרה הפשוטה למושג של מסילת ז'ורדן הוכחת המשפט אינה פשוטה. במתמטיקה לא מספיק להגיד שטענה נכונה לפי אינטואיציה, נדרשים להוכיח כל טענה מתמטית.
בהינתן נקודה ספציפית לא תמיד קל לקבוע למי שמסתכל בעין האם היא בפנים או בחוץ למשל במבוך סבוך (ראה איור 2).

איור 2: האם הנקודה האדומה באמצע המבוך היא בפנים או בחוץ?

כדי לדעת אם נקודה מסוימת נמצאת בתוך מסילת ז'ורדן או מחוצה לה, אפשר להעביר קו מנקודה בחלק החיצוני, לנקודה שעליה אנחנו שואלים ולספור כמה פעמים הקו חוצה את המסילה, אם מספר הפעמים זוגי הנקודה שייכת לחלק החיצוני, ואם מספר הפעמים אי זוגי הנקודה שייכת לחלק הפנימי, כפי שניתן לראות בסרטון.

משפט על מסילת ז'ורדן נוסח על ידי קאמי ז'ורדן עם הוכחה חלקית ב-1887, והוכח באופן מלא על ידי וובלן ב-1905. 

בתמונת המתמטיקאי קאמי ז'ורדן מצוייר בעזרת מסילת ז'ורדן (איור 3) ניתן לראות שהמסילה מחלקת את המישור לשני תחומים קשירים, חיצוני ופנימי.

איור 3:  קאמי ז'ורדן מאוייר במסילת ג'ורדן. ציור איילת ספירשטיין

דוגמה נוספת לציור שעונה על הגבלת הציור לפי ההגדרה מסילת ז'ורדן הוא תעתוע הראייה המפורסם המכונה האגרטל של רובין (איור 4).

איור 4: האגרטל של רובין

כשמביטים בציור ניתן לראות בו אגרטל או שני פרופילים של אנשים מביטים זה בזה. הפסיכולוג אתגר רובין חקר בעבודת הדוקטורט שלו את מערכת היחסים בין דמות ורקע והגיע למסקנה שכאשר לשני משטחים יש גבול משותף, בכל רגע נתון אחד נתפס בתור כדמות השני כרקע וברגע הבא הם עשויים להחליף בתפקידים. 

אצל נומה בר מעצב גרפי ומאייר ישראלי שחיי בלונדון, שעבודותיו עוסקות בקשר שבין החלל הפנימי לחיצוני ובמשחקים של דו משמעות בין הדמות לרקע, ניתן למצוא לא מעט יצירות שעונות להגדרה של מסילת ז'ורדן. 

ובכן, הגדרנו מה היא מסילת ז'ורדן, וראינו היכן ניתן למצוא אותו באומנות. יצירת ציורים מעניינים בעזרת מסילת ג'ורדן זו משימה מאתגרת, אך לרוב פיתרונות לבעיות קשות הם מקוריים ומעניינים. יצירות אומנות מבוססות מסילת ז'ורדן הן מינימליסטיות, ומאפשרות ליצור דיאלוג בין פנים וחוץ, ולפעמים גם כפל משמעות בין דמות לרקע, מומלץ מאוד לנסות בבית 🙂 וכמובן, לחלוק איתנו את התוצאות. 

לקריאה/צפייה נוספת:
אומנות קוד של מסילות ג'ורדן

רוברט בוש פרופסור ואמן מתמטי פיתח את אלגוריתם ה-TSP שהופך תמונות למסילות ז'ורדן סבוכות.