מתמטיקאים מוכיחים דברים, כולנו יודעים את זה. אבל מה זה בעצם "להוכיח"? בשביל רוב האנשים, הוכחה היא תהליך שבו מתחילים מהנחות יסוד מסויימות, ובעזרת סדרה של היסקים לוגיים מגיעים למסקנה מסויימת. הרי זה נראה שכל הוכחה מתמטית נשענת על דברים שהיו ידועים קודם, אבל מה יושב בבסיס? מאיפה הכל מתחיל? האם יש הנחות יסוד נכונות, או שמדובר רק על עניין של הסכמה? השאלות האלו מטרידות את האנושות (או לפחות מתמטיקאים ופילוסופים) עד היום. בפוסטים הבאים נספר לכם קצת על המסע למצוא בסיס למתמטיקה.

הנסיון הראשון להוכיח דברים באופן מתודי מהנחות יסוד פשוטות ככל הניתן מיוחס בדרך כלל לאוקלידס. בספרו "היסודות" הוא הגדיר מה הם נקודה, קו, זווית ומעגל ומה התכונות שלהם, ומשם המשיך לפתח את הגיאומטריה המרחבית שאולי זכורה לכם לרעה מהתיכון. בכרך אחר הוא השתמש באותן האקסיומות כדי להגדיר ולחקור את עולם המספרים הטבעיים ולספק, בין היתר, את ההוכחה הראשונה לכך שיש אינסוף מספרים ראשוניים, שגם נחשבת לדוגמה ההיסטורית הראשונה של הוכחה בשלילה.

במשך מאות שנים, המתמטיקה התפתחה על גבי התשתית של אוקלידס, שהיתה מצויינת, אך לא מושלמת. במאות הראשונות של האלף השני לספירה, מתמטיקאים החלו להתעניין בשאלות אנליטיות יותר ויותר עדינות, כמו לתהות באילו תנאים יש למשוואות מסויימות פתרון, ואיך אפשר למצוא אותו. בשביל להתמודד עם השאלות האלו הם פנו לכלי חדש בשם "אלגברה", שבה לא מתייחסים לגדלים ולכמויות כיישות גאומטרית, אלא כסמל מופשט שאפשר לתמרן לפי חוקים מסויימים. הגישה האלגברית הוכיחה את עצמה ככלי עוצמתי וסללה את הדרך לתוצאות מורכבות ויפות, אבל היא לא יכלה לספק תחליף לגאומטריה. לרגע זה נראה כאילו יש שתי מתמטיקות, העיסוקים בגאומטריה ובאלגברה נראו כמעט נפרדים. כבר באותם שנים היה ברור למתמטיקאים שמדובר בשני פנים של אותו הדבר, אבל מתוך נסיונות לגשר על הפער לאט לאט נחפשה האמת המרה -- היסודות שאוקלידס הניח פשוט לא מספיק יציבים בשביל להתמודד עם המורכבות הזאת. 

בתחילת המאה ה-17, הפילוסוף המהולל רנה דקארט הציע רעיון: במקום לנסות להתאים את האלגברה לגאומטריה של אוקלידס, הגיע הזמן להמציא גאומטריה חדשה, גאומטריה שבה צורות מתוארות בעזרת משוואות ומימדי המרחב הם לא יותר מצירים שמתארים את המשתנים בביטוי האלגברי שלנו. כך למשל, מעגל ברדיוס 1 הוא לא יותר מאשר אוסף כל הנקודות שמרחקן מנקודה מרכזית אחת קבוע (ומתמטית מספקות את המשוואה x^2 + y^2 = 1). אין יותר צורך באקסיומות של אוקלידס, ואין צורך להגדיר מה זה מעגל. אם אפשר לתאר את זה בעזרת משוואה, אז אפשר להשתמש בזה. מערכת הצירים שבה כל ציר מייצג משתנה נקראת עד היום, על שם דקארט, מערכת הצירים הקרטזית.

באיור: צורות גיאומטריות והמשוואות המתארות אותן. משמאל לימין: מעגל, למניסקטה, הסמל של סופרמן. סתם, נו. ספיידרמן.

הגאומטריה האנליטית של דקארט סללה את הדרך להבנה עמוקה יותר לא רק של גאומטריה אלא גם של אלגברה. פתאום מדענים יכלו להשתמש בכלים גאומטריים כדי להבין כל שאלה שניתן לנסח בצורת משוואה. אחד המדענים האלו הוא אייזק ניוטון. בשנת 1666, ניוטון פרסם את ספרו "פילוסופיה נאטורליס פרינסיפיה מתמטיקה" (עקרונות מתמטיים של הפילוסופיה של הטבע), שבו הציג לראשונה את החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, גזר ממנו את ה"מכניקה ניוטונית", והתניע את הפיזיקה המודרנית. בשביל לעשות את זה, הוא השתמש בכלים של דקארט כדי לחקור את הדרך שבה תהליך מתפתח לאורך זמן. למשל, אם אני זורק כדור, הכלים של ניוטון מאפשרים לי לחשב איך המיקום והמהירות שלו משתנים עם הזמן. אבל כאן צצה שאלה מעניינת: מה זה בעצם אומר לשאול מה היתה המהירות של הכדור "ברגע מסויים"? מהירות היא, בהגדרה, דרך חלקי זמן, וכשאנחנו מדברים על "עכשיו", פרק הזמן בו אנחנו מחלקים הוא אפסי. ניוטון (ולייבניץ, שפיתח את החשבון הדיפרנציאלי באופן בלתי תלוי) התמודד עם הבעיה הזאת על ידי שימוש ב"אינפיניטסימל". מעין גודל שהוא לא אפס, אבל הוא יותר קטן מכל גודל אחר. אותם האינפיניטסימלים לא היו מוגדרים היטב, והוכרו באופן אינטואיטיבי ולא פורמלי.

בתחילת המאה ה-19, כמעט מאה חמישים שנים אחרי, הפורמליזם של ניוטון כבר בשל ומקובל בעולם, והפיזיקה מיישמת אותו לבעיות יותר ויותר מורכבות. בשנת 1822, המתמטיקאי ז'וזף פורייה ניסח את "משוואת החום". משוואה אשר מתארת את האופן שבו חום מתפשט בתווך, ופתר אותה. בשביל לפתור אותה, היה צריך להמציא טכניקה חדשה שתקרא לימים "טור פורייה". הטכניקה של פורייה מאפשרת לקרב כמעט כל פונקציה על ידי סכום (סופי או אינסופי) של פונקציות סינוס וקוסינוס מחזוריות, כך שבמקום להתמודד עם הפונקציה המקורית, אפשר לחקור אוסף של פונקציות הרבה יותר פשוטות. עם התקדמות העשורים, הקהילה המתמטית מתחילה להבין שטור פורייה זה פטיש מאוד גדול, ונמצאו יותר ויותר מסמרים שאפשר לדפוק בעזרתו. אבל ככל שנעשו יותר נסיונות להבין לעומק את טורי פורייה, כך המגבלות בגישה הלא פורמלית של ניוטון הפכו ליותר בולטים. 

הצורך במסגרת דיון יותר מדוייקת הוביל את המתמטיקאים אוגוסטן קושי וקרל ויירשטראס לפתח גישה חדשה בשם "הגדרת הגבול" שהביאה תחליף ברור וחד משמעי לאינפיניטסימלים של ניוטון ולייבניץ. הגישה המדוייקת הזאת הובילה לפרץ גדילה עצום במתמטיקה ובפיזיקה, ולפרץ עצום של דמעות תסכול מצדם של סטודנטים למדעים מדוייקים מאז ועד עולם.

לקריאה נוספת:

• על היסודות של אוקלידס
• על החשבון הדיפרנציאלי
• תכנית הילברט באנציקלופדיה לפילוסופיה של סטנפורד
• על קורט גדל
• על משפטי אי השלמות של גדל - 1
• על משפטי אי השלמות של גדל - 2